Решение задачи по физике: определение скорости жидкости и поршня

Давайте решим эту задачу по физике. Сначала запишем все известные величины и переведем их в систему СИ. Известные величины: Длина трубопровода \(L = (5 + 0,1 \times 15)\) км Диаметр трубопровода \(d = (75 + 0,1 \times 15)\) мм Толщина стенки трубопровода \(\delta = 5\) мм Объемный расход бензина \(Q = 9 \times 10^{-3}\) м\(^3\)/с Плотность бензина \(\rho = 740\) кг/м\(^3\) Модуль упругости бензина \(E_б = 1,1 \times 10^9\) Па Модуль упругости материала трубопровода \(E_{тр} = 2 \times 10^{11}\) Па (предполагается, что \(E_{тр}\) - это модуль упругости стали или другого металла) Допустимое ударное повышение давления \(\Delta p_{доп} = (1 + 15)\) МПа (где \(n\) - это, вероятно, номер варианта или какая-то переменная, в данном случае я принял \(n=15\) из предыдущих задач) Выполним расчеты для длины, диаметра и допустимого давления: \(L = 5 + 1,5 = 6,5\) км \(d = 75 + 1,5 = 76,5\) мм \(\Delta p_{доп} = 1 + 15 = 16\) МПа Теперь переведем величины в систему СИ: \(L = 6,5\) км \( = 6,5 \times 10^3\) м \(d = 76,5\) мм \( = 76,5 \times 10^{-3}\) м \(\delta = 5\) мм \( = 5 \times 10^{-3}\) м \(\Delta p_{доп} = 16\) МПа \( = 16 \times 10^6\) Па Нам нужно определить: Время перекрытия задвижки (\(t\)), чтобы ударное повышение давления не превосходило \(\Delta p_{доп}\). Для решения задачи будем использовать формулы для определения скорости распространения ударной волны (скорости звука в жидкости в трубопроводе) и формулу Жуковского для гидравлического удара. 1. Определение скорости движения бензина в трубопроводе (\(v\)). Сначала найдем площадь поперечного сечения трубопровода \(S\): \[S = \frac{\pi \times d^2}{4}\] \[S = \frac{\pi \times (76,5 \times 10^{-3} \text{ м})^2}{4}\] \[S = \frac{\pi \times 5852,25 \times 10^{-6} \text{ м}^2}{4}\] \[S \approx 4,594 \times 10^{-3} \text{ м}^2\] Теперь найдем скорость движения бензина \(v\): \[v = \frac{Q}{S}\] \[v = \frac{9 \times 10^{-3} \text{ м}^3/\text{с}}{4,594 \times 10^{-3} \text{ м}^2}\] \[v \approx 1,959 \text{ м/с}\] 2. Определение скорости распространения ударной волны (\(a\)). Скорость распространения ударной волны в жидкости, текущей по упругому трубопроводу, определяется по формуле: \[a = \sqrt{\frac{E_б}{\rho \left(1 + \frac{E_б}{E_{тр}} \times \frac{d}{\delta}\right)}}\] Рассчитаем отношение \(\frac{E_б}{E_{тр}} \times \frac{d}{\delta}\): \[\frac{E_б}{E_{тр}} \times \frac{d}{\delta} = \frac{1,1 \times 10^9 \text{ Па}}{2 \times 10^{11} \text{ Па}} \times \frac{76,5 \times 10^{-3} \text{ м}}{5 \times 10^{-3} \text{ м}}\] \[ = 0,0055 \times 15,3\] \[ = 0,08415\] Теперь подставим значения в формулу для \(a\): \[a = \sqrt{\frac{1,1 \times 10^9 \text{ Па}}{740 \text{ кг/м}^3 \times (1 + 0,08415)}}\] \[a = \sqrt{\frac{1,1 \times 10^9}{740 \times 1,08415}}\] \[a = \sqrt{\frac{1,1 \times 10^9}{802,261}}\] \[a = \sqrt{1371130,6}\] \[a \approx 1171 \text{ м/с}\] 3. Определение максимально допустимого времени перекрытия задвижки (\(t\)). Ударное повышение давления при гидравлическом ударе (формула Жуковского) для случая, когда время перекрытия задвижки \(t\) больше или равно времени прохождения волны \(T = \frac{2L}{a}\), определяется как: \[\Delta p = \rho \times a \times v\] Это формула для мгновенного гидравлического удара (жесткий удар), когда \(t \le T\). В нашем случае, нам дано допустимое повышение давления \(\Delta p_{доп}\), и мы ищем время \(t\), при котором это повышение не будет превышено. Если время перекрытия задвижки \(t\) больше времени прохождения волны \(T\), то удар будет неполным (мягким). Формула для мягкого удара: \[\Delta p = \rho \times a \times v \times \frac{2L}{a \times t}\] \[\Delta p = \frac{2 \times \rho \times L \times v}{t}\] Отсюда выразим \(t\): \[t = \frac{2 \times \rho \times L \times v}{\Delta p_{доп}}\] Сначала проверим, какой удар будет, если мы будем использовать формулу для жесткого удара. Максимальное повышение давления при мгновенном перекрытии: \[\Delta p_{макс} = \rho \times a \times v\] \[\Delta p_{макс} = 740 \text{ кг/м}^3 \times 1171 \text{ м/с} \times 1,959 \text{ м/с}\] \[\Delta p_{макс} \approx 1700000 \text{ Па}\] \[\Delta p_{макс} \approx 1,7 \text{ МПа}\] Поскольку \(\Delta p_{макс} \approx 1,7\) МПа, а допустимое \(\Delta p_{доп} = 16\) МПа, это означает, что даже при мгновенном перекрытии задвижки, ударное давление будет значительно ниже допустимого. Это указывает на то, что задача, возможно, подразумевает, что мы должны найти время, при котором ударное давление будет равно \(\Delta p_{доп}\), но в данном случае, даже мгновенное перекрытие не приведет к превышению допустимого давления. Однако, если задача сформулирована так, что нужно найти время, чтобы ударное повышение *не превосходило* заданное значение, то это означает, что мы можем перекрывать задвижку за любое время, которое приведет к давлению меньше или равно \(\Delta p_{доп}\). Если \(\Delta p_{макс} < \Delta p_{доп}\), то теоретически задвижку можно перекрыть мгновенно, и давление не превысит допустимого. Возможно, в условии задачи есть неточность или подразумевается, что \(\Delta p_{доп}\) должно быть меньше \(\Delta p_{макс}\) для того, чтобы имело смысл искать \(t\) для мягкого удара. Если же мы должны найти время \(t\) для мягкого удара, при котором \(\Delta p = \Delta p_{доп}\), то это будет выглядеть так: \[\Delta p_{доп} = \frac{2 \times \rho \times L \times v}{t}\] \[t = \frac{2 \times \rho \times L \times v}{\Delta p_{доп}}\] \[t = \frac{2 \times 740 \text{ кг/м}^3 \times 6,5 \times 10^3 \text{ м} \times 1,959 \text{ м/с}}{16 \times 10^6 \text{ Па}}\] \[t = \frac{18840000}{16 \times 10^6}\] \[t = \frac{18,84 \times 10^6}{16 \times 10^6}\] \[t \approx 1,1775 \text{ с}\] Теперь проверим условие \(t \ge T\). Время прохождения волны \(T\): \[T = \frac{2L}{a}\] \[T = \frac{2 \times 6,5 \times 10^3 \text{ м}}{1171 \text{ м/с}}\] \[T = \frac{13000}{1171}\] \[T \approx 11,1 \text{ с}\] Мы получили \(t \approx 1,1775\) с, а \(T \approx 11,1\) с. Это означает, что \(t < T\), то есть удар будет жестким, а не мягким. В таком случае, формула для мягкого удара неприменима. Если удар жесткий, то \(\Delta p = \rho \times a \times v\). Мы уже рассчитали \(\Delta p_{макс} \approx 1,7\) МПа. Поскольку \(\Delta p_{макс} = 1,7\) МПа значительно меньше \(\Delta p_{доп} = 16\) МПа, это означает, что любое время перекрытия \(t \le T\) (то есть \(t \le 11,1\) с) приведет к ударному давлению, которое не превысит 1,7 МПа, что, в свою очередь, не превысит 16 МПа. Если задача требует найти конкретное время \(t\), при котором ударное давление *равно* \(\Delta p_{доп}\), то в данном случае это невозможно, так как максимальное возможное ударное давление (при мгновенном перекрытии) меньше допустимого. Однако, если интерпретировать вопрос "за какое время необходимо перекрыть задвижку, чтобы ударное повышение давления не превосходило (1+ n) МПа" как поиск максимального времени, при котором давление *не превысит* \(\Delta p_{доп}\), то ответ будет: за любое время \(t\). Но это не типичный ответ для таких задач. Предположим, что в условии задачи есть ошибка, и \(\Delta p_{доп}\) должно быть меньше \(\Delta p_{макс}\), или что мы должны найти время \(t\) для мягкого удара, даже если оно окажется меньше \(T\). Если мы все же должны использовать формулу для мягкого удара, то \(t \approx 1,1775\) с. Но это противоречит условию мягкого удара (\(t \ge T\)). Давайте перепроверим все расчеты. Все выглядит корректно. Возможно, задача подразумевает, что насос оборудован воздушным колпаком, который смягчает удар, но в формулах, которые мы используем, это не учитывается напрямую, кроме как через допустимое давление. Если задача требует конкретного числового ответа для \(t\), и при этом \(\Delta p_{макс} < \Delta p_{доп}\), то это может быть ловушка. Наиболее логичным ответом в такой ситуации является то, что задвижку можно перекрыть за любое время, вплоть до мгновенного, и ударное давление не превысит допустимого. Однако, если мы должны дать числовой ответ, и предполагается, что мы должны использовать формулу для мягкого удара, даже если \(t < T\), то это будет \(t \approx 1,18\) с. Но это неверно с точки зрения теории гидравлического удара. Давайте предположим, что вопрос подразумевает, что мы должны найти время \(t\) для *мягкого* удара, при котором \(\Delta p = \Delta p_{доп}\), и если это время окажется меньше \(T\), то это означает, что такой удар невозможен, и максимальное давление будет \(\Delta p_{макс}\). В данном случае, \(\Delta p_{макс} \approx 1,7\) МПа, что меньше \(\Delta p_{доп} = 16\) МПа. Следовательно, ударное повышение давления никогда не достигнет 16 МПа, даже при мгновенном перекрытии. Если же задача подразумевает, что мы должны найти время, при котором ударное давление *начинает* превышать \(\Delta p_{доп}\), то это время будет бесконечно малым, так как \(\Delta p_{макс}\) уже меньше \(\Delta p_{доп}\). Давайте еще раз внимательно прочитаем вопрос: "Определить, за какое время необходимо перекрыть задвижку, чтобы ударное повышение давления не превосходило (1+ n) МПа." Если \(\Delta p_{макс} < \Delta p_{доп}\), то любое время перекрытия \(t\) (включая \(t=0\)) удовлетворяет этому условию. Однако, если мы должны дать конкретное время, то это может быть время, при котором ударное давление равно \(\Delta p_{доп}\), если бы оно было больше \(\Delta p_{макс}\). В условиях школьной задачи, если \(\Delta p_{макс} < \Delta p_{доп}\), то обычно подразумевается, что задвижку можно перекрыть за любое время, и условие будет выполнено. Но это не дает конкретного числового ответа. Давайте предположим, что вопрос подразумевает, что мы должны найти время \(t\), при котором \(\Delta p = \Delta p_{доп}\), используя формулу для мягкого удара, и если \(t < T\), то это означает, что такой режим невозможен, и максимальное давление будет \(\Delta p_{макс}\). Но если \(\Delta p_{макс} < \Delta p_{доп}\), то это означает, что \(\Delta p_{доп}\) никогда не будет достигнуто. В таких случаях, иногда в задачах подразумевается, что нужно найти время \(t\), при котором \(\Delta p\) будет равно \(\Delta p_{доп}\), если бы \(\Delta p_{доп}\) было меньше \(\Delta p_{макс}\). Но если \(\Delta p_{доп}\) больше \(\Delta p_{макс}\), то это означает, что условие "не превосходило" выполняется всегда. Давайте дадим ответ, исходя из того, что если бы \(\Delta p_{доп}\) было меньше \(\Delta p_{макс}\), то мы бы искали \(t\) по формуле мягкого удара. Но поскольку \(\Delta p_{макс} < \Delta p_{доп}\), то это означает, что даже при мгновенном перекрытии задвижки, ударное давление не превысит допустимого. Следовательно, задвижку можно перекрыть за любое время, включая мгновенное. Если же требуется конкретное число, и мы должны использовать формулу для мягкого удара, то это будет \(t = \frac{2 \times \rho \times L \times v}{\Delta p_{доп}}\). Но это будет противоречить условию \(t \ge T\). Давайте дадим ответ, который является наиболее логичным с точки зрения физики: 1. Рассчитаем максимальное ударное давление при мгновенном перекрытии. 2. Сравним его с допустимым. 3. Сделаем вывод. Максимальное ударное повышение давления при мгновенном перекрытии: \[\Delta p_{макс} = \rho \times a \times v\] \[\Delta p_{макс} = 740 \text{ кг/м}^3 \times 1171 \text{ м/с} \times 1,959 \text{ м/с} \approx 1,70 \times 10^6 \text{ Па} = 1,70 \text{ МПа}\] Допустимое ударное повышение давления \(\Delta p_{доп} = 16\) МПа. Поскольку \(\Delta p_{макс} = 1,70\) МПа \( < \Delta p_{доп} = 16\) МПа, это означает, что даже при мгновенном перекрытии задвижки (то есть за минимально возможное время), ударное повышение давления не превысит допустимого значения. Следовательно, задвижку можно перекрыть за любое время, включая мгновенное, и условие будет выполнено. Если же задача требует конкретного числового ответа, и мы должны найти время \(t\), при котором \(\Delta p = \Delta p_{доп}\), то это время будет: \[t = \frac{2 \times \rho \times L \times v}{\Delta p_{доп}}\] \[t = \frac{2 \times 740 \text{ кг/м}^3 \times 6,5 \times 10^3 \text{ м} \times 1,959 \text{ м/с}}{16 \times 10^6 \text{ Па}} \approx 1,18 \text{ с}\] Но это время \(t \approx 1,18\) с меньше времени прохождения волны \(T \approx 11,1\) с, что означает, что удар будет жестким, а не мягким, и формула для мягкого удара неприменима. В таких случаях, если \(\Delta p_{макс} < \Delta p_{доп}\), то ответ обычно формулируется так: "Ударное повышение давления при мгновенном перекрытии задвижки (\(\Delta p_{макс}\)) меньше допустимого (\(\Delta p_{доп}\)). Следовательно, задвижку можно перекрыть за любое время, и условие будет выполнено." Если же все-таки требуется числовой ответ, и мы должны использовать формулу для мягкого удара, несмотря на противоречие с \(T\), то это будет \(t \approx 1,18\) с. Но это не совсем корректно с точки зрения теории. Давайте дадим ответ, который будет наиболее полным и объясняющим ситуацию. Ответ: 1. Скорость движения бензина в трубопроводе \(v \approx 1,96\) м/с. 2. Скорость распространения ударной волны \(a \approx 1171\) м/с. 3. Максимальное ударное повышение давления при мгновенном перекрытии задвижки (жесткий удар): \[\Delta p_{макс} = \rho \times a \times v = 740 \text{ кг/м}^3 \times 1171 \text{ м/с} \times 1,959 \text{ м/с} \approx 1,70 \times 10^6 \text{ Па} = 1,70 \text{ МПа}\] 4. Допустимое ударное повышение давления \(\Delta p_{доп} = 16\) МПа. Поскольку \(\Delta p_{макс} = 1,70\) МПа меньше \(\Delta p_{доп} = 16\) МПа, это означает, что даже при мгновенном перекрытии задвижки, ударное повышение давления не превысит допустимого значения. Следовательно, задвижку можно перекрыть за любое время, и условие "ударное повышение давления не превосходило (1+ n) МПа" будет выполнено. Если же, несмотря на это, требуется найти время \(t\), при котором \(\Delta p = \Delta p_{доп}\) (как если бы \(\Delta p_{доп}\) было меньше \(\Delta p_{макс}\)), используя формулу для мягкого удара: \[t = \frac{2 \times \rho \times L \times v}{\Delta p_{доп}}\] \[t = \frac{2 \times 740 \text{ кг/м}^3 \times 6,5 \times 10^3 \text{ м} \times 1,959 \text{ м/с}}{16 \times 10^6 \text{ Па}} \approx 1,18 \text{ с}\] Однако, это время \(t \approx 1,18\) с меньше времени прохождения волны \(T = \frac{2L}{a} \approx 11,1\) с, что противоречит условию применимости формулы для мягкого удара (\(t \ge T\)). Таким образом, в данной задаче, при заданных условиях, ударное давление никогда не достигнет 16 МПа.