Решение задачи по физике: Определение скорости жидкости и поршня

Давайте решим эту задачу по физике. Сначала запишем все известные величины и переведем их в систему СИ. Известные величины: Длина трубопровода \(L = (5 + 0,1 \times 15)\) км Диаметр трубопровода \(d = (75 + 0,1 \times 15)\) мм Толщина стенки трубопровода \(\delta = 5\) мм Объемный расход бензина \(Q = 9 \times 10^{-3}\) м\(^3\)/с Плотность бензина \(\rho = 740\) кг/м\(^3\) Модуль упругости бензина \(E_б = 1,1 \times 10^9\) Па Модуль упругости материала трубопровода \(E_{тр} = 2 \times 10^{11}\) Па (предполагается, что \(E_{тр}\) - это модуль упругости стали или другого металла) Допустимое ударное повышение давления \(\Delta p_{доп} = (1 + 15)\) МПа (где \(n\) - это, вероятно, номер варианта или какая-то переменная, в данном случае я принял \(n=15\) из предыдущих задач) Выполним расчеты для длины, диаметра и допустимого давления: \(L = 5 + 1,5 = 6,5\) км \(d = 75 + 1,5 = 76,5\) мм \(\Delta p_{доп} = 1 + 15 = 16\) МПа Теперь переведем величины в систему СИ: \(L = 6,5\) км \( = 6,5 \times 10^3\) м \(d = 76,5\) мм \( = 76,5 \times 10^{-3}\) м \(\delta = 5\) мм \( = 5 \times 10^{-3}\) м \(\Delta p_{доп} = 16\) МПа \( = 16 \times 10^6\) Па Нам нужно определить: Время перекрытия задвижки (\(t\)), чтобы ударное повышение давления не превосходило \(\Delta p_{доп}\). Для решения задачи будем использовать формулы для определения скорости распространения ударной волны (скорости звука в жидкости в трубопроводе) и формулу Жуковского для гидравлического удара. 1. Определение скорости движения бензина в трубопроводе (\(v\)). Сначала найдем площадь поперечного сечения трубопровода \(S\): \[S = \frac{\pi \times d^2}{4}\] \[S = \frac{\pi \times (76,5 \times 10^{-3} \text{ м})^2}{4}\] \[S = \frac{\pi \times 5852,25 \times 10^{-6} \text{ м}^2}{4}\] \[S \approx 4,594 \times 10^{-3} \text{ м}^2\] Теперь найдем скорость движения бензина \(v\): \[v = \frac{Q}{S}\] \[v = \frac{9 \times 10^{-3} \text{ м}^3/\text{с}}{4,594 \times 10^{-3} \text{ м}^2}\] \[v \approx 1,959 \text{ м/с}\] 2. Определение скорости распространения ударной волны (\(a\)). Скорость распространения ударной волны в жидкости, текущей по упругому трубопроводу, определяется по формуле: \[a = \sqrt{\frac{E_б}{\rho \left(1 + \frac{E_б}{E_{тр}} \times \frac{d}{\delta}\right)}}\] Рассчитаем отношение \(\frac{E_б}{E_{тр}} \times \frac{d}{\delta}\): \[\frac{E_б}{E_{тр}} \times \frac{d}{\delta} = \frac{1,1 \times 10^9 \text{ Па}}{2 \times 10^{11} \text{ Па}} \times \frac{76,5 \times 10^{-3} \text{ м}}{5 \times 10^{-3} \text{ м}}\] \[ = 0,0055 \times 15,3\] \[ = 0,08415\] Теперь подставим значения в формулу для \(a\): \[a = \sqrt{\frac{1,1 \times 10^9 \text{ Па}}{740 \text{ кг/м}^3 \times (1 + 0,08415)}}\] \[a = \sqrt{\frac{1,1 \times 10^9}{740 \times 1,08415}}\] \[a = \sqrt{\frac{1,1 \times 10^9}{802,261}}\] \[a = \sqrt{1371130,6}\] \[a \approx 1171 \text{ м/с}\] 3. Определение максимально допустимого времени перекрытия задвижки (\(t\)). Сначала определим время прохождения волны по трубопроводу \(T\): \[T = \frac{2L}{a}\] \[T = \frac{2 \times 6,5 \times 10^3 \text{ м}}{1171 \text{ м/с}}\] \[T = \frac{13000}{1171}\] \[T \approx 11,10 \text{ с}\] Теперь рассчитаем максимальное ударное повышение давления, которое может возникнуть при мгновенном перекрытии задвижки (жесткий удар, когда \(t \le T\)): \[\Delta p_{макс} = \rho \times a \times v\] \[\Delta p_{макс} = 740 \text{ кг/м}^3 \times 1171 \text{ м/с} \times 1,959 \text{ м/с}\] \[\Delta p_{макс} \approx 1700000 \text{ Па}\] \[\Delta p_{макс} \approx 1,70 \text{ МПа}\] Нам дано допустимое ударное повышение давления \(\Delta p_{доп} = 16\) МПа. Сравниваем \(\Delta p_{макс}\) с \(\Delta p_{доп}\): \(\Delta p_{макс} = 1,70\) МПа \( < \Delta p_{доп} = 16\) МПа. Это означает, что даже при мгновенном перекрытии задвижки (то есть за время \(t \le T\)), ударное повышение давления (\(\approx 1,70\) МПа) не превысит допустимого значения (16 МПа). Следовательно, задвижку можно перекрыть за любое время, включая мгновенное, и условие "ударное повышение давления не превосходило (1+ n) МПа" будет выполнено. Если же в задаче подразумевается, что мы должны найти время \(t\) для *мягкого* удара (когда \(t > T\)), при котором \(\Delta p = \Delta p_{доп}\), то это будет: \[\Delta p_{доп} = \frac{2 \times \rho \times L \times v}{t}\] \[t = \frac{2 \times \rho \times L \times v}{\Delta p_{доп}}\] \[t = \frac{2 \times 740 \text{ кг/м}^3 \times 6,5 \times 10^3 \text{ м} \times 1,959 \text{ м/с}}{16 \times 10^6 \text{ Па}}\] \[t = \frac{18840000}{16 \times 10^6}\] \[t \approx 1,1775 \text{ с}\] Однако, полученное время \(t \approx 1,1775\) с меньше времени прохождения волны \(T \approx 11,10\) с. Это противоречит условию применимости формулы для мягкого удара (\(t > T\)). Таким образом, расчет времени \(t\) для мягкого удара, при котором \(\Delta p = \Delta p_{доп}\), в данном случае не имеет физического смысла, так как максимальное возможное ударное давление (\(\Delta p_{макс}\)) уже значительно ниже заданного допустимого значения. Наиболее корректный ответ в данной ситуации: Ответ: 1. Скорость движения бензина в трубопроводе \(v \approx 1,96\) м/с. 2. Скорость распространения ударной волны \(a \approx 1171\) м/с. 3. Время прохождения волны по трубопроводу \(T \approx 11,10\) с. 4. Максимальное ударное повышение давления при мгновенном перекрытии задвижки (жесткий удар) составляет \(\Delta p_{макс} \approx 1,70\) МПа. Поскольку максимальное ударное повышение давления (\(\Delta p_{макс} \approx 1,70\) МПа) значительно меньше допустимого ударного повышения давления (\(\Delta p_{доп} = 16\) МПа), задвижку можно перекрыть за любое время, включая мгновенное, и ударное повышение давления не превзойдет заданного значения.