Уравнение непрерывности: решение и вывод

Уравнение непрерывности является одним из фундаментальных законов физики, выражающим закон сохранения заряда. Оно связывает плотность тока и плотность заряда, показывая, что изменение заряда в некотором объеме происходит только за счет тока, протекающего через границы этого объема. Вывод уравнения непрерывности в дифференциальной форме: 1. Начнем с интегральной формы закона сохранения заряда. Этот закон гласит, что скорость изменения полного заряда \(Q\) в некотором объеме \(V\) равна полному току \(I\), вытекающему из этого объема, взятому со знаком минус. \[ \frac{dQ}{dt} = -I \] Здесь \(Q\) - полный заряд внутри объема \(V\), а \(I\) - ток, вытекающий из объема. 2. Полный заряд \(Q\) внутри объема \(V\) можно выразить через плотность заряда \(\rho\) (заряд на единицу объема): \[ Q = \int_V \rho \, dV \] Тогда скорость изменения заряда будет: \[ \frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt} \int_V \rho \, dV \] Если объем \(V\) не меняется со временем, то производную по времени можно внести под знак интеграла: \[ \frac{dQ}{dt} = \int_V \frac{\partial \rho}{\partial t} \, dV \] Мы используем частную производную \(\frac{\partial \rho}{\partial t}\), потому что плотность заряда \(\rho\) может зависеть не только от времени, но и от пространственных координат. 3. Ток \(I\), вытекающий из объема \(V\), можно выразить через плотность тока \(\vec{j}\) (ток на единицу площади). Согласно теореме Гаусса для потока вектора, полный ток, вытекающий из замкнутой поверхности \(S\), окружающей объем \(V\), равен интегралу от плотности тока по этой поверхности: \[ I = \oint_S \vec{j} \cdot d\vec{S} \] Здесь \(d\vec{S}\) - вектор элемента площади, направленный по нормали к поверхности наружу. 4. Теперь подставим выражения для \(\frac{dQ}{dt}\) и \(I\) в исходное уравнение сохранения заряда: \[ \int_V \frac{\partial \rho}{\partial t} \, dV = - \oint_S \vec{j} \cdot d\vec{S} \] 5. Для того чтобы перейти к дифференциальной форме, воспользуемся теоремой Гаусса (или теоремой Остроградского-Гаусса), которая связывает поверхностный интеграл от векторного поля с объемным интегралом от дивергенции этого поля: \[ \oint_S \vec{j} \cdot d\vec{S} = \int_V (\nabla \cdot \vec{j}) \, dV \] Здесь \(\nabla \cdot \vec{j}\) - дивергенция плотности тока \(\vec{j}\). 6. Подставим это выражение обратно в уравнение: \[ \int_V \frac{\partial \rho}{\partial t} \, dV = - \int_V (\nabla \cdot \vec{j}) \, dV \] 7. Перенесем все члены в одну сторону: \[ \int_V \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} \right) \, dV = 0 \] 8. Это уравнение должно быть справедливо для любого произвольного объема \(V\). Единственный способ, которым интеграл от некоторой функции может быть равен нулю для любого объема, это если сама подынтегральная функция равна нулю в каждой точке этого объема. Следовательно, \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0 \] Это и есть уравнение непрерывности в дифференциальной форме. Значение уравнения: * \(\frac{\partial \rho}{\partial t}\) описывает скорость изменения плотности заряда в данной точке пространства. * \(\nabla \cdot \vec{j}\) описывает "источники" или "стоки" тока в данной точке. Положительная дивергенция означает, что ток "вытекает" из данной точки, а отрицательная - "втекает". Уравнение непрерывности утверждает, что если плотность заряда в некоторой точке уменьшается (\(\frac{\partial \rho}{\partial t} < 0\)), то это означает, что из этой точки вытекает ток (\(\nabla \cdot \vec{j} > 0\)), и наоборот. Это прямое математическое выражение закона сохранения электрического заряда.