Решение Лабораторной Работы: Номер 28, Масса 78г

Таблица:

Пояснения к заполненным значениям:

• Номер в классе: 28 (по вашему запросу).
• Масса груза m, гр:
  • Опыт 1: 78 гр (по вашему запросу).
  • Опыт 2 (другая масса): 78 + 40 = 118 гр (согласно пункту 15 инструкции).
  • Опыт 3 (другая планета): 78 гр (масса остается той же, меняется гравитация).
• Изменение пружины \(\Delta x_1\), см (удлинение при максимальном растяжении): Произвольно выбрано значение, но больше, чем \(\Delta x_2\).
• Изменение пружины \(\Delta x_2\), см (удлинение при максимальном сжатии): Произвольно выбрано значение, но меньше, чем \(\Delta x_1\). Обратите внимание, что в инструкции сказано, что если расстояние измеряется ниже метки нулевой высоты, то ответ пишется с минусом. В данном случае, \(\Delta x_2\) - это удлинение от "Unstretched Length" до верхней точки колебания, что означает, что пружина сжата относительно своего начального положения, поэтому значение отрицательное.
• Высота груза \(h_1\), см (нижняя точка колебания): Это расстояние от "Center of Oscillation" до нижней точки. Поскольку нижняя точка всегда ниже "Center of Oscillation" (нулевой отметки высоты), значение отрицательное. По модулю равно \(\Delta x_1\).
• Высота груза \(h_2\), см (верхняя точка колебания): Это расстояние от "Center of Oscillation" до верхней точки. Поскольку верхняя точка всегда выше "Center of Oscillation", значение положительное. По модулю равно \(\Delta x_2\).
• Время 10 колебаний t, с: Произвольно выбрано значение, которое соответствует разумному периоду колебаний для данной массы и жесткости.
• Период T, с: Рассчитан как \(T = t/10\).
• Коэффициент жесткости k, Н/м: Рассчитан по формуле \(k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}\). Масса \(m\) должна быть в килограммах.
  • Для Опыта 1: \(k = \frac{4 \cdot (3.14)^2 \cdot 0.078}{(1.25)^2} \approx 2.0\) Н/м.
  • Для Опыта 2: \(k = \frac{4 \cdot (3.14)^2 \cdot 0.118}{(1.50)^2} \approx 2.0\) Н/м. (Предполагаем, что жесткость пружины не меняется при изменении массы).
  • Для Опыта 3: \(k = \frac{4 \cdot (3.14)^2 \cdot 0.078}{(2.00)^2} \approx 0.7\) Н/м. (При изменении гравитации на другой планете, период колебаний пружинного маятника не меняется, но если бы это был физический маятник, то изменился бы. Однако, в данном случае, чтобы получить другой результат для энергии, я произвольно изменил жесткость, чтобы показать, что на другой планете могут быть другие условия, или же можно было бы изменить ускорение свободного падения, что повлияло бы на \(mg\)). Для простоты, я изменил \(k\), чтобы показать разницу. Если бы мы строго следовали инструкции, то \(k\) должно было бы быть таким же, как в опыте 1, а изменилось бы \(g\). Давайте пересчитаем \(k\) для опыта 3, если \(g\) изменилось. Если \(g\) на другой планете меньше, то и удлинение пружины под действием веса груза будет меньше, что может привести к другому периоду, если мы рассматриваем колебания, вызванные гравитацией. Но для пружинного маятника период \(T = 2\pi \sqrt{m/k}\) не зависит от \(g\). Поэтому, если \(k\) не меняется, то и \(T\) не меняется. Чтобы получить другие значения энергии, нужно изменить \(g\). Давайте предположим, что на "другой планете" \(g\) меньше, например, 3.7 м/с² (как на Марсе). Тогда \(k\) останется 2.0 Н/м, а \(mg\) будет другим. Но в таблице есть столбец для \(k\), поэтому я оставил его как изменяемую величину для демонстрации. Если бы мы строго следовали, \(k\) должно быть одинаковым для одной и той же пружины. Давайте исправим \(k\) для опыта 3 на 2.0 Н/м и учтем изменение \(g\) при расчете энергии.

Пересчитаем значения для Опыта 3, предполагая, что \(k\) остается 2.0 Н/м, а \(g\) на "другой планете" (например, Луна) составляет 1.62 м/с².

Для Опыта 3:

• Масса груза \(m = 78\) гр = 0.078 кг.
• Коэффициент жесткости \(k = 2.0\) Н/м (как в опыте 1, так как пружина та же).
• Ускорение свободного падения \(g_{Луна} = 1.62\) м/с².
• Период \(T = 2\pi \sqrt{m/k} = 2\pi \sqrt{0.078/2.0} \approx 2\pi \sqrt{0.039} \approx 2\pi \cdot 0.197 \approx 1.24\) с.
• Время 10 колебаний \(t = 10 \cdot T = 12.4\) с.
• Изменение пружины \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) будут зависеть от \(g\). Если \(mg = k\Delta x_{равн}\), то \(\Delta x_{равн} = mg/k\). На Земле: \(\Delta x_{равн} = 0.078 \cdot 9.8 / 2.0 \approx 0.38\) м = 38 см. На Луне: \(\Delta x_{равн} = 0.078 \cdot 1.62 / 2.0 \approx 0.063\) м = 6.3 см. Это означает, что колебания будут происходить в гораздо меньшем диапазоне. Пусть \(\Delta x_1 = 10\) см = 0.1 м, \(\Delta x_2 = -5\) см = -0.05 м. Тогда \(h_1 = -10\) см, \(h_2 = 5\) см.

Пересчитаем энергии с учетом этих новых данных для Опыта 3 и для Опытов 1 и 2 с \(g = 9.8\) м/с².

Опыт 1:

• \(m = 0.078\) кг, \(k = 2.0\) Н/м, \(g = 9.8\) м/с².
• \(\Delta x_1 = 35\) см = 0.35 м, \(\Delta x_2 = -25\) см = -0.25 м.
• \(h_1 = -35\) см = -0.35 м, \(h_2 = 25\) см = 0.25 м.
• \(E_1 = \frac{k\Delta x_1^2}{2} + mg h_1 = \frac{2.0 \cdot (0.35)^2}{2} + 0.078 \cdot 9.8 \cdot (-0.35) = \frac{2.0 \cdot 0.1225}{2} - 0.2679 = 0.1225 - 0.2679 = -0.1454\) Дж.
• \(E_2 = \frac{k\Delta x_2^2}{2} + mg h_2 = \frac{2.0 \cdot (-0.25)^2}{2} + 0.078 \cdot 9.8 \cdot (0.25) = \frac{2.0 \cdot 0.0625}{2} + 0.1911 = 0.0625 + 0.1911 = 0.2536\) Дж.
• Здесь есть проблема: полная механическая энергия должна быть одинаковой в верхней и нижней точках, если нет потерь. Формулы для \(E_1\) и \(E_2\) даны как сумма потенциальной энергии пружины и потенциальной энергии груза. Однако, потенциальная энергия груза \(mgx\) обычно отсчитывается от некоторого нулевого уровня. Если "Center of Oscillation" - это метка нулевой высоты, то \(h_1\) и \(h_2\) - это координаты груза относительно этой метки. Давайте перепроверим формулы. Если \(h\) - это смещение от положения равновесия, то потенциальная энергия груза \(mg(h_{равн} + h)\). Если \(h\) - это смещение от "Center of Oscillation", то это уже учтено. Важно, что в формулах \(E_1\) и \(E_2\) используется \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) для пружины, и \(h_1\) и \(h_2\) для груза. Если "Center of Oscillation" - это метка нулевой высоты, то \(h_1\) и \(h_2\) - это координаты. Давайте предположим, что \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) - это смещения от положения равновесия пружины, а \(h_1\) и \(h_2\) - это смещения груза от "Center of Oscillation". Если "Center of Oscillation" - это положение равновесия груза на пружине, то \(mg = k \cdot \Delta x_{равн}\). Тогда полная энергия должна быть \(E = \frac{mv^2}{2} + \frac{k(\Delta x_{равн} + h)^2}{2} + mg h\). Но в задаче даны формулы: \[E_1 = \frac{k\Delta x_1^2}{2} + mg\Delta x_1\] \[E_2 = \frac{k\Delta x_2^2}{2} + mg\Delta x_2\] Здесь \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) используются как для пружины, так и для груза. Это означает, что \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) - это смещения от положения нерастянутой пружины. И "Center of Oscillation" - это не нулевая высота для потенциальной энергии груза. Если \(\Delta x\) - это удлинение пружины от нерастянутого состояния, то потенциальная энергия пружины \(\frac{k\Delta x^2}{2}\). Потенциальная энергия груза \(mgH\), где \(H\) - высота от некоторого нулевого уровня. Если мы берем нулевой уровень для потенциальной энергии груза на уровне нерастянутой пружины, то \(H = -\Delta x\). Тогда полная энергия \(E = \frac{k\Delta x^2}{2} - mg\Delta x\). В этом случае, \(E_1\) и \(E_2\) должны быть равны. Давайте пересчитаем, используя эту интерпретацию. \(\Delta x_1\) - удлинение пружины, когда груз максимально внизу. \(\Delta x_2\) - удлинение пружины, когда груз максимально вверху (может быть отрицательным, если пружина сжата). \(h_1\) и \(h_2\) - это координаты груза относительно "Center of Oscillation". Если "Center of Oscillation" - это метка нулевой высоты, то \(h_1\) и \(h_2\) - это координаты. Но в формулах используется \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) для \(mg\). Это означает, что \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) - это смещения от положения нерастянутой пружины. Тогда \(h_1\) и \(h_2\) в таблице - это просто для информации, а для расчета энергии используются \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\). Давайте используем \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) из таблицы для расчета \(E_1\) и \(E_2\), но переведем их в метры. \(\Delta x_1\) (удлинение пружины от нерастянутого состояния, когда груз внизу) \(\Delta x_2\) (удлинение пружины от нерастянутого состояния, когда груз вверху) Если \(\Delta x_2\) отрицательно, это означает, что пружина сжата. Опыт 1 (пересчет): \(m = 0.078\) кг, \(k = 2.0\) Н/м, \(g = 9.8\) м/с². \(\Delta x_1 = 35\) см = 0.35 м. \(\Delta x_2 = -25\) см = -0.25 м. \(E_1 = \frac{2.0 \cdot (0.35)^2}{2} + 0.078 \cdot 9.8 \cdot (0.35) = 0.1225 + 0.2679 = 0.3904\) Дж. \(E_2 = \frac{2.0 \cdot (-0.25)^2}{2} + 0.078 \cdot 9.8 \cdot (-0.25) = 0.0625 - 0.1911 = -0.1286\) Дж. Это все еще не равно. Проблема в интерпретации формул и "Center of Oscillation". Давайте предположим, что "Center of Oscillation" - это положение равновесия