Построение эпюры продольных сил N_z: решение задачи

Для выполнения расчетно-проектировочной работы по теме «Расчет на прочность и жесткость стержня при центральном растяжении и сжатии» воспользуемся данными из последней строки таблицы. Дано: \[ F_1 = 150 \text{ кН} = 150 \cdot 10^3 \text{ Н} \] \[ F_2 = 130 \text{ кН} = 130 \cdot 10^3 \text{ Н} \] \[ F_3 = 110 \text{ кН} = 110 \cdot 10^3 \text{ Н} \] \[ l_1 = 0,2 \text{ м}, \quad l_2 = 0,3 \text{ м}, \quad l_3 = 0,4 \text{ м} \] \[ E = 2 \cdot 10^5 \text{ МПа} = 2 \cdot 10^{11} \text{ Па} \] \[ [\sigma] = 160 \text{ МПа} = 160 \cdot 10^6 \text{ Па} \] 1. Построение эпюры продольных сил \( N_z \). Используем метод сечений. Идем справа налево (от свободного конца \( l_1 \)). Участок 1 (длиной \( l_1 \)): \[ N_{z1} = F_1 = 150 \text{ кН} \text{ (растяжение)} \] Участок 2 (длиной \( l_2 \)): \[ N_{z2} = F_1 + F_2 = 150 + 130 = 280 \text{ кН} \] Участок 3 (длиной \( l_3 \)): \[ N_{z3} = F_1 + F_2 - F_3 = 280 - 110 = 170 \text{ кН} \] Эпюра \( N_z \) представляет собой ступенчатую линию. На первом участке значение 150, на втором 280, на третьем 170 (все значения положительные). 2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность. Условие прочности: \( \sigma = \frac{N_{max}}{A} \le [\sigma] \). Максимальная сила \( N_{max} = 280 \text{ кН} = 280000 \text{ Н} \). Требуемая площадь сечения: \[ A \ge \frac{N_{max}}{[\sigma]} = \frac{280000}{160 \cdot 10^6} = 0,00175 \text{ м}^2 = 17,5 \text{ см}^2 \] Для прямоугольного сечения (\( h/b = 2 \)): \[ A = b \cdot h = b \cdot 2b = 2b^2 \] \[ 2b^2 = 17,5 \Rightarrow b = \sqrt{17,5 / 2} \approx 2,96 \text{ см} \] Принимаем \( b = 30 \text{ мм} \), тогда \( h = 60 \text{ мм} \). Фактическая площадь \( A_{rect} = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см}^2 \). Для круглого сечения: \[ A = \frac{\pi d^2}{4} \Rightarrow d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 17,5}{3,14}} \approx 4,72 \text{ см} \] Принимаем \( d = 48 \text{ мм} \). 3. Построение эпюры нормальных напряжений \( \sigma \). Используем принятую площадь \( A = 18 \text{ см}^2 = 18 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \). \[ \sigma_1 = \frac{150 \cdot 10^3}{18 \cdot 10^{-4}} \approx 83,3 \text{ МПа} \] \[ \sigma_2 = \frac{280 \cdot 10^3}{18 \cdot 10^{-4}} \approx 155,6 \text{ МПа} \] \[ \sigma_3 = \frac{170 \cdot 10^3}{18 \cdot 10^{-4}} \approx 94,4 \text{ МПа} \] Все значения меньше \( [\sigma] = 160 \text{ МПа} \), условие прочности выполняется. 4. Перемещения сечений. Закрепим стержень слева (в начале участка \( l_3 \)). \[ \Delta l_3 = \frac{N_{z3} \cdot l_3}{E \cdot A} = \frac{170000 \cdot 0,4}{2 \cdot 10^{11} \cdot 18 \cdot 10^{-4}} \approx 0,189 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,189 \text{ мм} \] \[ \Delta l_2 = \frac{N_{z2} \cdot l_2}{E \cdot A} = \frac{280000 \cdot 0,3}{2 \cdot 10^{11} \cdot 18 \cdot 10^{-4}} \approx 0,233 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,233 \text{ мм} \] \[ \Delta l_1 = \frac{N_{z1} \cdot l_1}{E \cdot A} = \frac{150000 \cdot 0,2}{2 \cdot 10^{11} \cdot 18 \cdot 10^{-4}} \approx 0,083 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,083 \text{ мм} \] Полное удлинение: \[ \Delta L = 0,189 + 0,233 + 0,083 = 0,505 \text{ мм} \] Проверка жесткости: \( \Delta L = 0,505 \text{ мм} < [\Delta L] = 1 \text{ мм} \). Условие выполняется. Для оформления в тетради: начертите ось стержня, под ней три шкалы (эпюры). На первой (\( N \)) отложите прямоугольники высотой 150, 280 и 170. На второй (\( \sigma \)) — 83.3, 155.6 и 94.4. На третьей (\( u \)) — нарастающую ломаную линию от 0 до 0,505.