Решение задач по построению графиков функций (1.6, 2.6, 3.6, 4.6, 5.6)

Для выполнения заданий по построению графиков (1.6, 2.6, 3.6) мы будем использовать метод преобразования базового графика функции \( y = \cos x \). Задание 1.6. Построить график функции \( y = \cos \left( \frac{1}{2}x - \frac{2\pi}{3} \right) \) Для удобства построения вынесем коэффициент за скобки: \[ y = \cos \left( \frac{1}{2} \left( x - \frac{4\pi}{3} \right) \right) \] Этапы построения: 1. Базовый график \( y = \cos x \). 2. Растяжение вдоль оси \( Ox \) в 2 раза (период \( T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \)). Получаем \( y = \cos \frac{1}{2}x \). 3. Сдвиг вправо вдоль оси \( Ox \) на \( \frac{4\pi}{3} \). Задание 2.6. Построить график функции \( y = \frac{1}{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \) Этапы построения: 1. Базовый график \( y = \cos x \). 2. Сжатие вдоль оси \( Oy \) в 2 раза (амплитуда становится равной \( 0,5 \)). Получаем \( y = \frac{1}{2} \cos x \). 3. Сдвиг влево вдоль оси \( Ox \) на \( \frac{\pi}{6} \). Задание 3.6. Построить график функции \( y = 3 \sin x + 2 \) Этапы построения: 1. Базовый график \( y = \sin x \). 2. Растяжение вдоль оси \( Oy \) в 3 раза (амплитуда равна 3). Получаем \( y = 3 \sin x \). 3. Сдвиг вверх вдоль оси \( Oy \) на 2 единицы. Задание 4.6. Найдите область значений функции \( y = -2 \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right) - 1 \) Решение: 1. Известно, что для любой функции косинуса: \[ -1 \le \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right) \le 1 \] 2. Умножим все части неравенства на -2 (при этом знаки неравенства меняются, но границы остаются теми же): \[ -2 \le -2 \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right) \le 2 \] 3. Вычтем 1 из всех частей неравенства: \[ -2 - 1 \le -2 \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right) - 1 \le 2 - 1 \] \[ -3 \le y \le 1 \] Ответ: \( E(y) = [-3; 1] \). Задание 5.6. Исследуйте функцию на четность/нечетность: \( y(x) = x \cdot \text{ctg} x - 2 \cos x \) Решение: Функция определена при \( x \ne \pi k, k \in Z \). Область определения симметрична относительно нуля. Проверим условие \( y(-x) \): \[ y(-x) = (-x) \cdot \text{ctg}(-x) - 2 \cos(-x) \] Так как \( \text{ctg}(-x) = -\text{ctg} x \) и \( \cos(-x) = \cos x \), получаем: \[ y(-x) = (-x) \cdot (-\text{ctg} x) - 2 \cos x \] \[ y(-x) = x \cdot \text{ctg} x - 2 \cos x \] Следовательно, \( y(-x) = y(x) \). Ответ: Функция является четной.