Ф9 ЗакСохрИмп
Вариант 2
№1. Тело движется прямолинейно. Под действием постоянной силы 8 Н импульс тела уменьшился от 23 кг·м/с до 7 кг·м/с. Сколько секунд потребовалось на это?
Рисунок 1. Изменение импульса тела под действием силы.
Дано:
- Начальный импульс тела: \(p_1 = 23 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\)
- Конечный импульс тела: \(p_2 = 7 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\)
- Постоянная сила: \(F = 8 \text{ Н}\)
Найти:
- Время: \(t\)
Решение:
Согласно закону изменения импульса, изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на тело:
\[\Delta p = F \cdot t\]Изменение импульса \(\Delta p\) можно найти как разность между конечным и начальным импульсом. Поскольку импульс уменьшился, изменение импульса будет отрицательным, если мы вычитаем из конечного начальный. Однако, для определения времени, мы будем использовать модуль изменения импульса, так как сила действовала в направлении, противоположном начальному движению, или же мы можем учесть направление силы.
Модуль изменения импульса:
\[|\Delta p| = |p_2 - p_1|\] \[|\Delta p| = |7 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 23 \text{ кг} \cdot \text{м/с}|\] \[|\Delta p| = |-16 \text{ кг} \cdot \text{м/с}|\] \[|\Delta p| = 16 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\]Теперь, используя формулу для импульса силы, выразим время \(t\):
\[t = \frac{|\Delta p|}{F}\]Подставим известные значения:
\[t = \frac{16 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{8 \text{ Н}}\]Помним, что \(1 \text{ Н} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}^2\). Тогда:
\[t = \frac{16 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{8 \text{ кг} \cdot \text{м/с}^2}\] \[t = 2 \text{ с}\]Ответ:
Потребовалось 2 секунды.
№2. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 5 с импульс тела изменился на 20 кг·м/с. Каков модуль силы?
Рисунок 2. Изменение импульса тела под действием силы.
Дано:
- Время: \(t = 5 \text{ с}\)
- Изменение импульса тела: \(\Delta p = 20 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\)
Найти:
- Модуль силы: \(F\)
Решение:
Согласно закону изменения импульса, изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на тело:
\[\Delta p = F \cdot t\]Из этой формулы выразим модуль силы \(F\):
\[F = \frac{\Delta p}{t}\]Подставим известные значения:
\[F = \frac{20 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{5 \text{ с}}\] \[F = 4 \text{ кг} \cdot \text{м/с}^2\]Помним, что \(1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}^2 = 1 \text{ Н}\). Следовательно:
\[F = 4 \text{ Н}\]Ответ:
Модуль силы равен 4 Н.
№3. С тележки массой 20 кг, которая движется по горизонтальной прямой со скоростью 4 м/с, спрыгивает мальчик массой 50 кг со скоростью 2,5 м/с в направлении движения тележки. Определить скорость тележки сразу после прыжка мальчика.
Рисунок 3. Прыжок мальчика с тележки.
Дано:
- Масса тележки: \(m_т = 20 \text{ кг}\)
- Начальная скорость тележки с мальчиком: \(v = 4 \text{ м/с}\)
- Масса мальчика: \(m_м = 50 \text{ кг}\)
- Скорость мальчика после прыжка относительно земли: \(v_м' = 2,5 \text{ м/с}\) (в направлении движения тележки)
Найти:
- Скорость тележки сразу после прыжка мальчика: \(v_т'\)
Решение:
Эта задача решается с использованием закона сохранения импульса. Система "тележка + мальчик" является замкнутой в горизонтальном направлении, так как внешние горизонтальные силы отсутствуют (трение не учитываем).
1. Начальный импульс системы:
До прыжка мальчик и тележка движутся как единое целое со скоростью \(v\). Общая масса системы \(M = m_т + m_м\).
\[P_{нач} = (m_т + m_м) \cdot v\] \[P_{нач} = (20 \text{ кг} + 50 \text{ кг}) \cdot 4 \text{ м/с}\] \[P_{нач} = 70 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с}\] \[P_{нач} = 280 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\]2. Конечный импульс системы:
После прыжка мальчик и тележка движутся с разными скоростями. Пусть \(v_м'\) - скорость мальчика, а \(v_т'\) - скорость тележки.
\[P_{кон} = m_м \cdot v_м' + m_т \cdot v_т'\]3. Закон сохранения импульса:
Начальный импульс равен конечному импульсу:
\[P_{нач} = P_{кон}\] \[(m_т + m_м) \cdot v = m_м \cdot v_м' + m_т \cdot v_т'\]Нам нужно найти \(v_т'\). Выразим ее из уравнения:
\[m_т \cdot v_т' = (m_т + m_м) \cdot v - m_м \cdot v_м'\] \[v_т' = \frac{(m_т + m_м) \cdot v - m_м \cdot v_м'}{m_т}\]Подставим известные значения:
\[v_т' = \frac{(20 \text{ кг} + 50 \text{ кг}) \cdot 4 \text{ м/с} - 50 \text{ кг} \cdot 2,5 \text{ м/с}}{20 \text{ кг}}\] \[v_т' = \frac{70 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с} - 125 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{20 \text{ кг}}\] \[v_т' = \frac{280 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 125 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{20 \text{ кг}}\] \[v_т' = \frac{155 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{20 \text{ кг}}\] \[v_т' = 7,75 \text{ м/с}\]Ответ:
Скорость тележки сразу после прыжка мальчика составит 7,75 м/с.