Ф9 ЗакСохрИмп
Вариант 2
Задача №1
Тело движется прямолинейно. Под действием постоянной силы 8 Н импульс тела уменьшился от 23 кг·м/с до 7 кг·м/с. Сколько секунд потребовалось на это?
Рисунок:
Представим тело в виде точки.
\[ \text{Начальное состояние: } \quad \xrightarrow{p_1 = 23 \text{ кг} \cdot \text{м/с}} \quad \bullet \]
\[ \text{Конечное состояние: } \quad \xrightarrow{p_2 = 7 \text{ кг} \cdot \text{м/с}} \quad \bullet \]
\[ \text{Действие силы: } \quad \xrightarrow{p_1} \quad \bullet \quad \xleftarrow{F = 8 \text{ Н}} \quad \xrightarrow{p_2} \]
Дано:
Постоянная сила \(F = 8 \text{ Н}\) Начальный импульс \(p_1 = 23 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) Конечный импульс \(p_2 = 7 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\)
Найти:
Время \(t\)
Решение:
Согласно закону изменения импульса, изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы: \[ \Delta p = F \cdot t \] Изменение импульса \(\Delta p\) можно найти как разность конечного и начального импульсов. Поскольку импульс тела уменьшился, это означает, что сила действовала в направлении, противоположном начальному движению. Поэтому изменение импульса будет отрицательным, если мы выберем начальное направление движения за положительное. \[ \Delta p = p_2 - p_1 \] Подставим значения: \[ \Delta p = 7 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 23 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = -16 \text{ кг} \cdot \text{м/с} \] Модуль изменения импульса равен \(|\Delta p| = 16 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\). Модуль импульса силы равен \(|F \cdot t| = F \cdot t\). Тогда: \[ F \cdot t = |\Delta p| \] \[ 8 \text{ Н} \cdot t = 16 \text{ кг} \cdot \text{м/с} \] Выразим время \(t\): \[ t = \frac{16 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{8 \text{ Н}} \] Вспомним, что \(1 \text{ Н} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}^2\). Тогда: \[ t = \frac{16 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{8 \text{ кг} \cdot \text{м/с}^2} = 2 \text{ с} \]
Ответ:
Потребовалось 2 секунды.
Задача №2
Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 5 с импульс тела изменился на 20 кг·м/с. Каков модуль силы?
Рисунок:
Представим тело в виде точки.
\[ \text{Начальное состояние: } \quad \xrightarrow{p_1} \quad \bullet \]
\[ \text{Конечное состояние: } \quad \xrightarrow{p_2} \quad \bullet \]
\[ \text{Действие силы: } \quad \xrightarrow{p_1} \quad \bullet \quad \xrightarrow{F} \quad \xrightarrow{p_2} \]
Дано:
Время действия силы \(t = 5 \text{ с}\) Изменение импульса \(\Delta p = 20 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\)
Найти:
Модуль силы \(F\)
Решение:
Согласно закону изменения импульса, изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы: \[ \Delta p = F \cdot t \] Нам известно изменение импульса \(\Delta p\) и время \(t\). Нужно найти модуль силы \(F\). Выразим \(F\): \[ F = \frac{\Delta p}{t} \] Подставим значения: \[ F = \frac{20 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{5 \text{ с}} \] \[ F = 4 \text{ кг} \cdot \text{м/с}^2 \] Вспомним, что \(1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}^2 = 1 \text{ Н}\). \[ F = 4 \text{ Н} \]
Ответ:
Модуль силы равен 4 Н.
Задача №3
С тележки массой 20 кг, которая движется по горизонтальной прямой со скоростью 4 м/с, спрыгивает мальчик массой 50 кг со скоростью 2,5 м/с в направлении движения тележки. Определить скорость тележки сразу после прыжка мальчика.
Рисунок:
Представим тележку и мальчика как единую систему до прыжка, а затем как две отдельные части после прыжка.
До прыжка:
Тележка с мальчиком движутся вместе.
\[ \xrightarrow{V_0 = 4 \text{ м/с}} \quad \boxed{\text{Тележка } m_т} + \boxed{\text{Мальчик } m_м} \]После прыжка:
Мальчик спрыгивает, тележка продолжает движение с другой скоростью.
\[ \xrightarrow{V_м = 2.5 \text{ м/с}} \quad \boxed{\text{Мальчик } m_м} \quad \xrightarrow{V_т} \quad \boxed{\text{Тележка } m_т} \]Дано:
Масса тележки \(m_т = 20 \text{ кг}\) Начальная скорость тележки с мальчиком \(V_0 = 4 \text{ м/с}\) Масса мальчика \(m_м = 50 \text{ кг}\) Скорость мальчика после прыжка \(V_м = 2.5 \text{ м/с}\) (в направлении движения тележки)
Найти:
Скорость тележки после прыжка \(V_т\)
Решение:
Эта задача решается с использованием закона сохранения импульса. Система "тележка + мальчик" является замкнутой в горизонтальном направлении, так как внешние горизонтальные силы (трение) не учитываются, а сила тяжести и сила реакции опоры действуют вертикально и компенсируют друг друга.
1. Импульс системы до прыжка:
До прыжка тележка и мальчик движутся как единое целое с общей скоростью \(V_0\). Общая масса системы до прыжка: \(M = m_т + m_м\) \[ M = 20 \text{ кг} + 50 \text{ кг} = 70 \text{ кг} \] Начальный импульс системы: \[ P_0 = M \cdot V_0 \] \[ P_0 = 70 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с} = 280 \text{ кг} \cdot \text{м/с} \]2. Импульс системы после прыжка:
После прыжка мальчик и тележка движутся с разными скоростями. Импульс мальчика после прыжка: \(P_м = m_м \cdot V_м\) \[ P_м = 50 \text{ кг} \cdot 2.5 \text{ м/с} = 125 \text{ кг} \cdot \text{м/с} \] Импульс тележки после прыжка: \(P_т = m_т \cdot V_т\) \[ P_т = 20 \text{ кг} \cdot V_т \] Полный импульс системы после прыжка: \[ P_{после} = P_м + P_т = m_м \cdot V_м + m_т \cdot V_т \]3. Применение закона сохранения импульса:
Согласно закону сохранения импульса, полный импульс системы до прыжка равен полному импульсу системы после прыжка: \[ P_0 = P_{после} \] \[ M \cdot V_0 = m_м \cdot V_м + m_т \cdot V_т \] Подставим известные значения: \[ 280 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 125 \text{ кг} \cdot \text{м/с} + 20 \text{ кг} \cdot V_т \] Теперь решим уравнение относительно \(V_т\): \[ 20 \text{ кг} \cdot V_т = 280 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 125 \text{ кг} \cdot \text{м/с} \] \[ 20 \text{ кг} \cdot V_т = 155 \text{ кг} \cdot \text{м/с} \] \[ V_т = \frac{155 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{20 \text{ кг}} \] \[ V_т = 7.75 \text{ м/с} \]Ответ:
Скорость тележки сразу после прыжка мальчика составит 7.75 м/с.