Аналитические и конформные отображения: решение задач с примерами

Отлично! Давайте рассмотрим примеры, чтобы лучше понять, как работают аналитические функции и конформные отображения.

Пример 1: Проверка аналитичности функции

Дана функция комплексной переменной: \(f(z) = z^2\). Нужно проверить, является ли она аналитической. Шаг 1: Разложим функцию на действительную и мнимую части. Пусть \(z = x + iy\). Тогда: \[ f(z) = (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy + (iy)^2 = x^2 + 2ixy - y^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy) \] Здесь действительная часть \(u(x, y) = x^2 - y^2\) и мнимая часть \(v(x, y) = 2xy\). Шаг 2: Найдем частные производные. Для \(u(x, y) = x^2 - y^2\): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^2) = 2x \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2) = -2y \] Для \(v(x, y) = 2xy\): \[ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y \] \[ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x \] Шаг 3: Проверим условия Коши-Римана. Условия Коши-Римана: 1. \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \] Подставляем наши производные: \(2x = 2x\). Это равенство выполняется. 2. \[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \] Подставляем наши производные: \(-2y = -(2y)\). Это равенство тоже выполняется. Шаг 4: Сделаем вывод. Поскольку условия Коши-Римана выполняются для всех \(x\) и \(y\), и частные производные непрерывны, функция \(f(z) = z^2\) является аналитической на всей комплексной плоскости.

Пример 2: Функция, которая не является аналитической

Дана функция: \(f(z) = \bar{z}\) (комплексно сопряженное число). Нужно проверить, является ли она аналитической. Шаг 1: Разложим функцию на действительную и мнимую части. Пусть \(z = x + iy\). Тогда \(\bar{z} = x - iy\). Значит, \(f(z) = x - iy\). Здесь действительная часть \(u(x, y) = x\) и мнимая часть \(v(x, y) = -y\). Шаг 2: Найдем частные производные. Для \(u(x, y) = x\): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = 1 \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \] Для \(v(x, y) = -y\): \[ \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \] \[ \frac{\partial v}{\partial y} = -1 \] Шаг 3: Проверим условия Коши-Римана. 1. \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \] Подставляем: \(1 = -1\). Это равенство не выполняется. 2. \[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \] Подставляем: \(0 = -0\). Это равенство выполняется. Шаг 4: Сделаем вывод. Поскольку первое условие Коши-Римана не выполняется, функция \(f(z) = \bar{z}\) не является аналитической ни в одной точке.

Пример 3: Конформное отображение \(w = z^2\)

Рассмотрим функцию \(w = f(z) = z^2\). Мы уже знаем, что она аналитическая. Давайте посмотрим, как она отображает некоторые линии и углы. Шаг 1: Выберем две кривые, пересекающиеся под углом. Пусть на \(z\)-плоскости (плоскость с координатами \(x, y\)) у нас есть: 1. Положительная часть действительной оси: \(L_1 = \{z = x + i0 \mid x > 0\}\). Это луч, идущий от начала координат по оси \(Ox\). 2. Положительная часть мнимой оси: \(L_2 = \{z = 0 + iy \mid y > 0\}\). Это луч, идущий от начала координат по оси \(Oy\). Эти два луча пересекаются в точке \(z=0\) под углом \(90^\circ\) (прямой угол). Шаг 2: Найдем образы этих кривых на \(w\)-плоскости. Пусть \(w = u + iv\). 1. Для \(L_1\): \(z = x\) (где \(x > 0\)). \[ w = f(x) = x^2 \] Поскольку \(x\) - действительное число, \(x^2\) тоже действительное и положительное. Значит, образ \(L_1\) - это луч на \(w\)-плоскости, идущий от начала координат по положительной оси \(Ou\). Назовем его \(L'_1\). 2. Для \(L_2\): \(z = iy\) (где \(y > 0\)). \[ w = f(iy) = (iy)^2 = i^2 y^2 = -y^2 \] Поскольку \(y\) - действительное число, \(y^2\) положительно, а \(-y^2\) отрицательно. Значит, образ \(L_2\) - это луч на \(w\)-плоскости, идущий от начала координат по отрицательной оси \(Ou\). Назовем его \(L'_2\). Шаг 3: Проверим угол между образами кривых. На \(w\)-плоскости луч \(L'_1\) идет по положительной оси \(Ou\), а луч \(L'_2\) идет по отрицательной оси \(Ou\). Эти два луча пересекаются в точке \(w=0\) под углом \(180^\circ\). Шаг 4: Сделаем вывод о конформности. Изначально угол был \(90^\circ\), а стал \(180^\circ\). Угол не сохранился! Почему так произошло, если \(f(z) = z^2\) аналитическая? Дело в том, что конформность сохраняется только в точках, где производная \(f'(z) \neq 0\). Найдем производную \(f(z) = z^2\): \[ f'(z) = 2z \] В точке пересечения наших кривых \(z=0\), производная \(f'(0) = 2 \cdot 0 = 0\). Поскольку производная равна нулю в точке \(z=0\), отображение \(w = z^2\) не является конформным в точке \(z=0\). В любой другой точке (где \(z \neq 0\)) это отображение будет конформным.

Пример 4: Конформное отображение \(w = z + 1\) (сдвиг)

Рассмотрим функцию \(w = f(z) = z + 1\). Это очень простая аналитическая функция. Её производная \(f'(z) = 1\), которая никогда не равна нулю. Значит, это отображение конформно везде. Шаг 1: Выберем кривую. Пусть у нас есть окружность на \(z\)-плоскости с центром в начале координат и радиусом 1: \(|z| = 1\). Это можно записать как \(z = \cos \theta + i \sin \theta\). Шаг 2: Найдем образ этой кривой на \(w\)-плоскости. \[ w = z + 1 = (\cos \theta + i \sin \theta) + 1 = (1 + \cos \theta) + i \sin \theta \] Пусть \(w = u + iv\). Тогда \(u = 1 + \cos \theta\) и \(v = \sin \theta\). Мы можем выразить \(\cos \theta = u - 1\) и \(\sin \theta = v\). Используя основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\): \[ (u - 1)^2 + v^2 = 1 \] Это уравнение окружности на \(w\)-плоскости с центром в точке \((1, 0)\) и радиусом 1. Шаг 3: Сделаем вывод. Отображение \(w = z + 1\) просто сдвигает всю комплексную плоскость на 1 единицу вправо. Оно сохраняет форму (окружность осталась окружностью того же радиуса), размеры и углы. Это классический пример конформного отображения.

Пример 5: Конформное отображение \(w = \frac{1}{z}\) (инверсия)

Рассмотрим функцию \(w = f(z) = \frac{1}{z}\). Эта функция аналитична везде, кроме точки \(z=0\). Её производная \(f'(z) = -\frac{1}{z^2}\), которая не равна нулю нигде, кроме бесконечности. Значит, это отображение конформно везде, кроме \(z=0\). Шаг 1: Выберем прямую. Пусть на \(z\)-плоскости у нас есть прямая \(x = 1\). Это можно записать как \(z = 1 + iy\). Шаг 2: Найдем образ этой прямой на \(w\)-плоскости. \[ w = \frac{1}{z} = \frac{1}{1 + iy} \] Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное к знаменателю: \[ w = \frac{1}{1 + iy} \cdot \frac{1 - iy}{1 - iy} = \frac{1 - iy}{1^2 + y^2} = \frac{1}{1 + y^2} - i \frac{y}{1 + y^2} \] Пусть \(w = u + iv\). Тогда: \[ u = \frac{1}{1 + y^2} \] \[ v = -\frac{y}{1 + y^2} \] Из первого уравнения видно, что \(u > 0\). Также \(1 + y^2 = \frac{1}{u}\). Подставим это во второе уравнение: \[ v = -y \cdot u \] Значит, \(y = -\frac{v}{u}\). Теперь подставим \(y\) в \(1 + y^2 = \frac{1}{u}\): \[ 1 + \left(-\frac{v}{u}\right)^2 = \frac{1}{u} \] \[ 1 + \frac{v^2}{u^2} = \frac{1}{u} \] Умножим все на \(u^2\): \[ u^2 + v^2 = u \] Перенесем \(u\) влево: \[ u^2 - u + v^2 = 0 \] Дополним до полного квадрата по \(u\): \[ \left(u^2 - u + \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{4} + v^2 = 0 \] \[ \left(u - \frac{1}{2}\right)^2 + v^2 = \frac{1}{4} \] Это уравнение окружности на \(w\)-плоскости с центром в точке \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) и радиусом \(\frac{1}{2}\). Важно: поскольку \(u > 0\), это будет не вся окружность, а её часть. В данном случае, так как \(x=1\) не проходит через начало координат, образ будет полной окружностью, проходящей через начало координат (но сама точка \(w=0\) не является образом, так как \(z \to \infty\) при \(w \to 0\)). Шаг 3: Сделаем вывод. Отображение \(w = \frac{1}{z}\) переводит прямую \(x=1\) в окружность. Это очень характерное свойство дробно-линейных функций (к которым относится \(w = \frac{1}{z}\)). Несмотря на то, что прямая превратилась в окружность, углы между кривыми (если бы мы взяли две пересекающиеся прямые) сохранятся, если точка пересечения не \(z=0\). Эти примеры показывают, как аналитические функции ведут себя на комплексной плоскости и как они могут преобразовывать геометрические фигуры, сохраняя при этом углы (если производная не равна нулю). Это делает их мощным инструментом для решения задач в различных областях науки и техники.