Решение задачи: Кодирование по условию Фано

Решение задачи: Для кодирования последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г, используется неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Это означает, что никакой код не должен быть префиксом другого кода. Нам даны коды для букв А и Б: Буква А: 01 Буква Б: 100 Нам нужно найти наименьшую возможную суммарную длину всех четырёх кодовых слов (А, Б, В, Г). Для решения этой задачи удобно использовать двоичное дерево. 1. Построим двоичное дерево, нанося на него известные коды. * Начнем с корня. * Для кода 01 (Буква А): * Идем влево (0). * Идем вправо (1). * На этом узле (01) ставим букву А. Поскольку 01 является кодовым словом, никакие другие коды не могут начинаться с 01. Это означает, что ветка 010 и 011 не могут быть использованы для других кодов. * Для кода 100 (Буква Б): * Идем вправо (1). * Идем влево (0). * Идем влево (0). * На этом узле (100) ставим букву Б. Аналогично, никакие другие коды не могут начинаться с 100. 2. Теперь посмотрим на свободные ветки дерева, чтобы найти места для кодов В и Г. * Ветка, начинающаяся с 0: * У нас есть 01 (Буква А). * Свободная ветка: 00. Длина этого кода 2. * Ветка, начинающаяся с 1: * У нас есть 100 (Буква Б). * Свободные ветки: 101 и 11. 3. Нам нужно найти два незанятых кода для букв В и Г. Чтобы суммарная длина была наименьшей, мы должны использовать самые короткие доступные коды. * Рассмотрим свободные ветки: * 00 (длина 2) * 101 (длина 3) * 11 (длина 2) Мы можем выбрать 00 и 11 как коды для В и Г. * Пусть В = 00 (длина 2) * Пусть Г = 11 (длина 2) Проверим условие Фано: * А = 01 * Б = 100 * В = 00 * Г = 11 Ни один из этих кодов не является префиксом другого. * 01 не является префиксом 00, 100, 11. * 100 не является префиксом 01, 00, 11. * 00 не является префиксом 01, 100, 11. * 11 не является префиксом 01, 100, 00. 4. Рассчитаем суммарную длину всех кодовых слов: Длина А = 2 (01) Длина Б = 3 (100) Длина В = 2 (00) Длина Г = 2 (11) Суммарная длина = \(2 + 3 + 2 + 2 = 9\). Это наименьшая возможная суммарная длина, так как мы использовали самые короткие доступные коды. Если бы мы использовали 101, то суммарная длина была бы больше. Например, если бы В = 00, Г = 101, то суммарная длина была бы \(2 + 3 + 2 + 3 = 10\). Ответ: 9