Заполни пропуски
Треугольники \(ABP\) и \(CDP\) имеют общую вершину \(P\) и лежат в разных плоскостях, \(AB \parallel CD\). На отрезке \(PD\) отмечена точка \(Q\).
Выбери верное утверждение:
◦ \(AB \parallel CQ\)
◦ \(AB \cap CQ\)
⚫ \(AB \not\parallel CQ\)
Найди \(\angle(CQ; AB)\), если \(CQ = CD\), \(\angle PDC = 80^\circ\).
Решение:
1. Анализ условия:
- Даны два треугольника \(ABP\) и \(CDP\), имеющие общую вершину \(P\).
- Эти треугольники лежат в разных плоскостях.
- Отрезки \(AB\) и \(CD\) параллельны: \(AB \parallel CD\).
- На отрезке \(PD\) отмечена точка \(Q\).
- Нужно найти угол между прямыми \(CQ\) и \(AB\).
- Известно, что \(CQ = CD\) и \(\angle PDC = 80^\circ\).
2. Выбор верного утверждения:
Поскольку \(AB \parallel CD\), а точка \(Q\) лежит на отрезке \(PD\), то прямая \(CQ\) не обязательно параллельна \(AB\). Более того, если бы \(CQ \parallel AB\), то \(CQ\) была бы параллельна и \(CD\), что возможно только в частных случаях (например, если \(Q\) совпадает с \(P\) или \(D\), или если \(C, Q, D\) лежат на одной прямой, параллельной \(AB\), что не следует из условия). В общем случае прямые \(AB\) и \(CQ\) являются скрещивающимися, так как они лежат в разных плоскостях и не параллельны. Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны. Поэтому верное утверждение: \(AB \not\parallel CQ\).
3. Нахождение угла \(\angle(CQ; AB)\):
Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми \(CQ\) и \(AB\), нужно провести через одну из них прямую, параллельную другой, и найти угол между пересекающимися прямыми.
По условию \(AB \parallel CD\). Это означает, что угол между \(CQ\) и \(AB\) равен углу между \(CQ\) и \(CD\).
Рассмотрим треугольник \(CDQ\).
По условию \(CQ = CD\). Это означает, что треугольник \(CDQ\) является равнобедренным с основанием \(DQ\).
Угол \(\angle PDC\) — это тот же угол, что и \(\angle CDQ\), так как точка \(Q\) лежит на отрезке \(PD\).
Следовательно, \(\angle CDQ = 80^\circ\).
В равнобедренном треугольнике \(CDQ\) углы при основании равны. Угол при вершине \(C\) — это \(\angle QCD\), а угол при вершине \(D\) — это \(\angle CDQ\).
Углы при основании \(DQ\) — это \(\angle CQD\) и \(\angle CDQ\).
Нет, это не так. Углы при основании \(DQ\) — это \(\angle CQD\) и \(\angle CDQ\). Но \(CDQ\) — это угол при вершине \(D\). Углы при основании равнобедренного треугольника — это углы, противолежащие равным сторонам. Значит, \(\angle CQD = \angle CDQ\).
Поскольку \(CQ = CD\), то углы, противолежащие этим сторонам, равны. То есть, \(\angle CDQ = \angle CQD\).
Нет, это неверно. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Основание — это сторона, не равная двум другим. В нашем случае \(CQ = CD\), значит, основание — это \(DQ\). Углы при основании \(DQ\) — это \(\angle QCD\) и \(\angle CDQ\).
Нет, это тоже неверно. Если \(CQ = CD\), то углы, противолежащие этим сторонам, равны. Угол, противолежащий \(CQ\), это \(\angle CDQ\). Угол, противолежащий \(CD\), это \(\angle CQD\). Значит, \(\angle CDQ = \angle CQD\).
Мы знаем, что \(\angle CDQ = 80^\circ\). Тогда \(\angle CQD = 80^\circ\).
Сумма углов в треугольнике \(CDQ\) равна \(180^\circ\).
\(\angle QCD + \angle CDQ + \angle CQD = 180^\circ\)
\(\angle QCD + 80^\circ + 80^\circ = 180^\circ\)
\(\angle QCD + 160^\circ = 180^\circ\)
\(\angle QCD = 180^\circ - 160^\circ\)
\(\angle QCD = 20^\circ\)
Угол между прямыми \(CQ\) и \(AB\) равен углу между прямыми \(CQ\) и \(CD\), то есть \(\angle QCD\).
Следовательно, \(\angle(CQ; AB) = \angle QCD = 20^\circ\).
Ответ:
Верное утверждение: \(AB \not\parallel CQ\).
Угол \(\angle(CQ; AB) = 20^\circ\).