Прямая \(m\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(F\). Точки \(T\) и \(R\) лежат на прямой \(m\). Через точки \(R\) и \(T\) проведены параллельные прямые \(f\) и \(g\) соответственно.
\(f \cap \alpha = T_1\), \(g \cap \alpha = R_1\).
\(TF = 10\), \(TR = 5\). Точка \(T\) лежит на отрезке \(FR\). \(FT_1 = 18\). Найди \(FR_1\).
Решение:
1. Построение и анализ условия:
- Прямая \(m\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(F\).
- Точки \(T\) и \(R\) лежат на прямой \(m\).
- Точка \(T\) лежит на отрезке \(FR\). Это означает, что порядок точек на прямой \(m\) такой: \(F, T, R\).
- Через точку \(T\) проведена прямая \(f\), которая пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(T_1\).
- Через точку \(R\) проведена прямая \(g\), которая пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(R_1\).
- Прямые \(f\) и \(g\) параллельны: \(f \parallel g\).
- Известные длины отрезков: \(TF = 10\), \(TR = 5\), \(FT_1 = 18\).
- Нужно найти длину отрезка \(FR_1\).
2. Определение положения точек на прямой \(m\):
Поскольку точка \(T\) лежит на отрезке \(FR\), то \(FR = FT + TR\).
\(FR = 10 + 5 = 15\).
3. Рассмотрение плоскости, содержащей прямые \(m, f, g\):
Прямые \(f\) и \(g\) параллельны. Прямая \(m\) пересекает обе эти прямые (в точках \(T\) и \(R\) соответственно). Следовательно, прямые \(m, f, g\) лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость \(\beta\).
4. Пересечение плоскости \(\beta\) с плоскостью \(\alpha\):
Плоскость \(\beta\) пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой. Эта прямая проходит через точки \(F\), \(T_1\), \(R_1\).
Таким образом, точки \(F, T_1, R_1\) лежат на одной прямой в плоскости \(\alpha\).
5. Подобие треугольников:
Рассмотрим треугольники \(\triangle FT T_1\) и \(\triangle FR R_1\).
Угол \(\angle TFF_1\) (или \(\angle TFR_1\)) является общим для этих треугольников.
Прямые \(TT_1\) (то есть \(f\)) и \(RR_1\) (то есть \(g\)) параллельны по условию (\(f \parallel g\)).
Следовательно, \(\triangle FT T_1\) и \(\triangle FR R_1\) подобны по двум углам (общий угол при вершине \(F\) и соответственные углы при параллельных прямых \(TT_1\) и \(RR_1\) и секущей \(m\), или секущей, проходящей через \(F, T_1, R_1\)).
Из подобия треугольников следует отношение сторон:
\[ \frac{FT}{FR} = \frac{FT_1}{FR_1} \]6. Подстановка известных значений и вычисление:
Мы знаем:
- \(FT = 10\)
- \(FR = 15\) (так как \(T\) лежит на \(FR\), \(FR = FT + TR = 10 + 5 = 15\))
- \(FT_1 = 18\)
Подставим эти значения в отношение:
\[ \frac{10}{15} = \frac{18}{FR_1} \]Упростим дробь \(\frac{10}{15}\):
\[ \frac{2}{3} = \frac{18}{FR_1} \]Чтобы найти \(FR_1\), умножим крест-накрест:
\[ 2 \cdot FR_1 = 3 \cdot 18 \] \[ 2 \cdot FR_1 = 54 \] \[ FR_1 = \frac{54}{2} \] \[ FR_1 = 27 \]Ответ: 27.