Найти x в равностороннем треугольнике: решение задачи

Дано: \[ \triangle RMN \text{ — правильный (равносторонний)} \] \[ RN = 6 \] \[ RK \perp MN \] \[ RK = x \] Найти: \( x \) Решение: 1. Так как треугольник \( RMN \) правильный, все его стороны равны: \[ RM = MN = RN = 6 \] 2. В правильном треугольнике высота \( RK \) также является медианой. Следовательно, точка \( K \) делит сторону \( MN \) пополам: \[ NK = \frac{MN}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( RKN \) (угол \( K = 90^\circ \)). По теореме Пифагора: \[ RK^2 + NK^2 = RN^2 \] \[ x^2 + 3^2 = 6^2 \] \[ x^2 + 9 = 36 \] \[ x^2 = 36 - 9 \] \[ x^2 = 27 \] \[ x = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \] Альтернативный способ через синус угла: В правильном треугольнике все углы равны \( 60^\circ \). Из треугольника \( RKN \): \[ x = RN \cdot \sin(60^\circ) \] \[ x = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \] Ответ: \( x = 3\sqrt{3} \)