Решение задачи: Найти x в равностороннем треугольнике

Дано: \[ \triangle MPR \text{ — правильный (равносторонний)} \] \[ RT \perp MP \] \[ RT = 8 \] \[ PR = x \] Найти: \( x \) Решение: 1. В правильном треугольнике все углы равны \( 60^\circ \). Следовательно, \( \angle P = 60^\circ \). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( PTR \) (так как \( RT \perp MP \), угол \( \angle PTR = 90^\circ \)). В этом треугольнике сторона \( PR \) является гипотенузой, а \( RT \) — катетом, противолежащим углу \( 60^\circ \). 3. Используем определение синуса для угла \( P \): \[ \sin(\angle P) = \frac{RT}{PR} \] \[ \sin(60^\circ) = \frac{8}{x} \] 4. Подставим значение \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{x} \] 5. Выразим \( x \) по правилу пропорции: \[ x \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot 2 \] \[ x\sqrt{3} = 16 \] \[ x = \frac{16}{\sqrt{3}} \] 6. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \): \[ x = \frac{16\sqrt{3}}{3} \] Ответ: \( x = \frac{16\sqrt{3}}{3} \)