Случай А
На рисунке А мы видим две пересекающиеся хорды внутри окружности. Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. В данном случае, одна хорда разделена на отрезки длиной \(x\) и \(3\), а другая хорда разделена на отрезки длиной \(2\) и \(6\). Запишем это в виде уравнения: \(x \cdot 3 = 2 \cdot 6\) Теперь решим уравнение: \(3x = 12\) \(x = \frac{12}{3}\) \(x = 4\) Ответ для случая А: \(x = 4\).Случай Б
На рисунке Б мы видим секущую и касательную, проведенные из одной точки к окружности. Согласно теореме о касательной и секущей, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины всей секущей на длину её внешней части. В данном случае, касательная имеет длину \(3\). Секущая состоит из внешней части длиной \(3,5\) и внутренней части длиной \(x\). Значит, вся секущая имеет длину \(3,5 + x\). Запишем это в виде уравнения: \(3^2 = 3,5 \cdot (3,5 + x)\) Теперь решим уравнение: \(9 = 3,5 \cdot 3,5 + 3,5x\) \(9 = 12,25 + 3,5x\) Вычтем \(12,25\) из обеих частей уравнения: \(9 - 12,25 = 3,5x\) \(-3,25 = 3,5x\) Здесь, кажется, есть ошибка в условии задачи или в моём понимании рисунка, так как длина отрезка не может быть отрицательной. Давайте перепроверим. Возможно, я неправильно интерпретировал рисунок Б. Давайте внимательно посмотрим еще раз. На рисунке Б из одной внешней точки проведены две секущие к окружности. Согласно теореме о двух секущих, проведенных из одной точки, произведение всей секущей на её внешнюю часть равно произведению другой всей секущей на её внешнюю часть. Первая секущая имеет внешнюю часть длиной \(3\) и внутреннюю часть длиной \(4\). Значит, вся первая секущая имеет длину \(3 + 4 = 7\). Вторая секущая имеет внешнюю часть длиной \(3,5\) и внутреннюю часть длиной \(x\). Значит, вся вторая секущая имеет длину \(3,5 + x\). Запишем это в виде уравнения: \(3 \cdot (3 + 4) = 3,5 \cdot (3,5 + x)\) \(3 \cdot 7 = 3,5 \cdot (3,5 + x)\) \(21 = 3,5 \cdot 3,5 + 3,5x\) \(21 = 12,25 + 3,5x\) Теперь решим уравнение: \(21 - 12,25 = 3,5x\) \(8,75 = 3,5x\) \(x = \frac{8,75}{3,5}\) \(x = 2,5\) Ответ для случая Б: \(x = 2,5\).Случай В
На рисунке В мы видим касательную и секущую, проведенные из одной точки к окружности. Согласно теореме о касательной и секущей, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины всей секущей на длину её внешней части. В данном случае, касательная имеет длину \(6\). Секущая состоит из внешней части длиной \(x\) и внутренней части длиной \(5\). Значит, вся секущая имеет длину \(x + 5\). Запишем это в виде уравнения: \(6^2 = x \cdot (x + 5)\) Теперь решим уравнение: \(36 = x^2 + 5x\) Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(x^2 + 5x - 36 = 0\) Решим квадратное уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a=1\), \(b=5\), \(c=-36\). Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)\) \(D = 25 + 144\) \(D = 169\) \(\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13\) Теперь найдем корни: \(x_1 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4\) \(x_2 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9\) Так как длина отрезка не может быть отрицательной, мы выбираем положительное значение. \(x = 4\) Ответ для случая В: \(x = 4\).Итоговые ответы:
А) \(x = 4\)
Б) \(x = 2,5\)
В) \(x = 4\)