Хорошо, давайте решим эту задачу. Нам нужно найти частные производные первого порядка для функции \( \ln E(x, y) \).
Исходная функция:
\[ \ln E(x, y) = \ln(49yxe^{-0,4\sqrt{x^2+y^2}}) - \ln(0,4y + 1) - \ln(0,1x + 1) \]
Сначала упростим выражение, используя свойства логарифмов:
\[ \ln E(x, y) = \ln 49 + \ln y + \ln x + \ln(e^{-0,4\sqrt{x^2+y^2}}) - \ln(0,4y + 1) - \ln(0,1x + 1) \]
\[ \ln E(x, y) = \ln 49 + \ln y + \ln x - 0,4\sqrt{x^2+y^2} - \ln(0,4y + 1) - \ln(0,1x + 1) \]
Теперь найдем частные производные первого порядка.
Частная производная по \( x \)
Для нахождения \( \frac{\partial (\ln E)}{\partial x} \) мы будем дифференцировать каждое слагаемое по \( x \), считая \( y \) константой.
1. Производная \( \ln 49 \) по \( x \) равна \( 0 \).
2. Производная \( \ln y \) по \( x \) равна \( 0 \).
3. Производная \( \ln x \) по \( x \) равна \( \frac{1}{x} \).
4. Производная \( -0,4\sqrt{x^2+y^2} \) по \( x \):
Пусть \( u = x^2+y^2 \). Тогда \( \sqrt{u} = u^{1/2} \).
Производная \( \sqrt{u} \) по \( u \) равна \( \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \).
Производная \( u = x^2+y^2 \) по \( x \) равна \( 2x \).
Значит, производная \( -0,4\sqrt{x^2+y^2} \) по \( x \) равна \( -0,4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot 2x = -\frac{0,4x}{\sqrt{x^2+y^2}} \).
5. Производная \( -\ln(0,4y + 1) \) по \( x \) равна \( 0 \).
6. Производная \( -\ln(0,1x + 1) \) по \( x \):
Пусть \( v = 0,1x + 1 \). Производная \( \ln v \) по \( v \) равна \( \frac{1}{v} \).
Производная \( v = 0,1x + 1 \) по \( x \) равна \( 0,1 \).
Значит, производная \( -\ln(0,1x + 1) \) по \( x \) равна \( -\frac{0,1}{0,1x + 1} \).
Собираем все слагаемые:
\[ \frac{\partial (\ln E)}{\partial x} = 0 + 0 + \frac{1}{x} - \frac{0,4x}{\sqrt{x^2+y^2}} - 0 - \frac{0,1}{0,1x + 1} \]
\[ \frac{\partial (\ln E)}{\partial x} = \frac{1}{x} - \frac{0,4x}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{0,1}{0,1x + 1} \]
Частная производная по \( y \)
Для нахождения \( \frac{\partial (\ln E)}{\partial y} \) мы будем дифференцировать каждое слагаемое по \( y \), считая \( x \) константой.
1. Производная \( \ln 49 \) по \( y \) равна \( 0 \).
2. Производная \( \ln y \) по \( y \) равна \( \frac{1}{y} \).
3. Производная \( \ln x \) по \( y \) равна \( 0 \).
4. Производная \( -0,4\sqrt{x^2+y^2} \) по \( y \):
Пусть \( u = x^2+y^2 \). Производная \( \sqrt{u} \) по \( u \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{u}} \).
Производная \( u = x^2+y^2 \) по \( y \) равна \( 2y \).
Значит, производная \( -0,4\sqrt{x^2+y^2} \) по \( y \) равна \( -0,4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot 2y = -\frac{0,4y}{\sqrt{x^2+y^2}} \).
5. Производная \( -\ln(0,4y + 1) \) по \( y \):
Пусть \( w = 0,4y + 1 \). Производная \( \ln w \) по \( w \) равна \( \frac{1}{w} \).
Производная \( w = 0,4y + 1 \) по \( y \) равна \( 0,4 \).
Значит, производная \( -\ln(0,4y + 1) \) по \( y \) равна \( -\frac{0,4}{0,4y + 1} \).
6. Производная \( -\ln(0,1x + 1) \) по \( y \) равна \( 0 \).
Собираем все слагаемые:
\[ \frac{\partial (\ln E)}{\partial y} = 0 + \frac{1}{y} + 0 - \frac{0,4y}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{0,4}{0,4y + 1} - 0 \]
\[ \frac{\partial (\ln E)}{\partial y} = \frac{1}{y} - \frac{0,4y}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{0,4}{0,4y + 1} \]
Итог
Частные производные первого порядка для функции \( \ln E(x, y) \) следующие:
\[ \frac{\partial (\ln E)}{\partial x} = \frac{1}{x} - \frac{0,4x}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{0,1}{0,1x + 1} \]
\[ \frac{\partial (\ln E)}{\partial y} = \frac{1}{y} - \frac{0,4y}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{0,4}{0,4y + 1} \]
Обратите внимание, что в исходном изображении есть некоторые символы, которые выглядят как штрихи (например, \( y' \), \( x' \)), но в контексте частных производных по \( x \) и \( y \) они обычно не используются, если только не подразумевается какая-то другая функция или зависимость. Я интерпретировал их как опечатки или неверное обозначение, и вычислил производные по \( x \) и \( y \) как независимые переменные. Если же \( y \) и \( x \) являются функциями какой-то другой переменной, то задача будет решаться иначе. Но по условию "Частные производные" обычно подразумевается, что \( x \) и \( y \) - независимые переменные.
