Хорошо, давайте решим эту задачу по построению эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для балки.
Для начала, давайте определим все нагрузки и размеры, исходя из предоставленного изображения.
Исходные данные:
* Балка закреплена жестко в точке A.
* На участке от A до 2 м: сосредоточенный момент \(M_A = 30 \, \text{кН} \cdot \text{м}\) (против часовой стрелки) и сосредоточенная сила \(F_1 = 30 \, \text{кН}\) (вниз).
* На участке от 2 м до 8 м (длиной 6 м): распределенная нагрузка \(q_1 = 4 \, \text{кН/м}\) (вверх).
* На участке от 8 м до 10 м (длиной 2 м): сосредоточенный момент \(M = 40 \, \text{кН} \cdot \text{м}\) (против часовой стрелки).
* На участке от 10 м до 13 м (длиной 3 м): сосредоточенная сила \(F_2 = 20 \, \text{кН}\) (вниз).
* В точке B (на расстоянии 13 м от A): сосредоточенная сила \(F_3 = 10 \, \text{кН}\) (вниз).
Общая длина балки \(L = 2 + 6 + 2 + 3 = 13 \, \text{м}\).
Поскольку балка жестко защемлена в точке A, в этой точке возникают три опорные реакции: вертикальная сила \(R_A\), горизонтальная сила \(H_A\) и изгибающий момент \(M_A^{\text{оп}}\). Горизонтальные силы отсутствуют, поэтому \(H_A = 0\).
Для определения опорных реакций \(R_A\) и \(M_A^{\text{оп}}\) составим уравнения равновесия:
1. Сумма проекций всех сил на вертикальную ось равна нулю:
\[ \sum F_y = 0 \]
\[ R_A - F_1 + q_1 \cdot 6 - F_2 - F_3 = 0 \]
\[ R_A - 30 + 4 \cdot 6 - 20 - 10 = 0 \]
\[ R_A - 30 + 24 - 20 - 10 = 0 \]
\[ R_A - 36 = 0 \]
\[ R_A = 36 \, \text{кН} \]
(Направление \(R_A\) вверх, как и предполагалось).
2. Сумма моментов всех сил относительно точки A равна нулю:
\[ \sum M_A = 0 \]
Примем моменты по часовой стрелке за положительные.
\[ M_A^{\text{оп}} - M_A - F_1 \cdot 2 + (q_1 \cdot 6) \cdot (2 + \frac{6}{2}) - M - F_2 \cdot (2+6+2) - F_3 \cdot (2+6+2+3) = 0 \]
\[ M_A^{\text{оп}} - 30 - 30 \cdot 2 + (4 \cdot 6) \cdot 5 - 40 - 20 \cdot 10 - 10 \cdot 13 = 0 \]
\[ M_A^{\text{оп}} - 30 - 60 + 24 \cdot 5 - 40 - 200 - 130 = 0 \]
\[ M_A^{\text{оп}} - 30 - 60 + 120 - 40 - 200 - 130 = 0 \]
\[ M_A^{\text{оп}} - 340 = 0 \]
\[ M_A^{\text{оп}} = 340 \, \text{кН} \cdot \text{м} \]
(Направление \(M_A^{\text{оп}}\) по часовой стрелке, как и предполагалось).
Теперь перейдем к построению эпюр поперечных сил \(Q(x)\) и изгибающих моментов \(M(x)\).
Построение эпюры поперечных сил \(Q(x)\)
Примем, что поперечная сила положительна, если левая часть элемента стремится подняться относительно правой.
1. Участок I: \(0 \le x < 2 \, \text{м}\)
\[ Q(x) = R_A - F_1 \]
\[ Q(x) = 36 - 30 = 6 \, \text{кН} \]
На этом участке \(Q(x)\) постоянна и равна 6 кН.
2. Участок II: \(2 \le x < 8 \, \text{м}\)
\[ Q(x) = R_A - F_1 + q_1 \cdot (x - 2) \]
\[ Q(x) = 36 - 30 + 4 \cdot (x - 2) \]
\[ Q(x) = 6 + 4x - 8 \]
\[ Q(x) = 4x - 2 \]
* При \(x = 2 \, \text{м}\): \(Q(2) = 4 \cdot 2 - 2 = 8 - 2 = 6 \, \text{кН}\) (совпадает с предыдущим участком).
* При \(x = 8 \, \text{м}\): \(Q(8) = 4 \cdot 8 - 2 = 32 - 2 = 30 \, \text{кН}\).
На этом участке \(Q(x)\) изменяется линейно от 6 кН до 30 кН.
3. Участок III: \(8 \le x < 10 \, \text{м}\)
\[ Q(x) = R_A - F_1 + q_1 \cdot 6 \]
\[ Q(x) = 36 - 30 + 4 \cdot 6 \]
\[ Q(x) = 6 + 24 = 30 \, \text{кН} \]
На этом участке \(Q(x)\) постоянна и равна 30 кН. Момент \(M = 40 \, \text{кН} \cdot \text{м}\) не влияет на поперечную силу.
4. Участок IV: \(10 \le x < 13 \, \text{м}\)
\[ Q(x) = R_A - F_1 + q_1 \cdot 6 - F_2 \]
\[ Q(x) = 36 - 30 + 24 - 20 \]
\[ Q(x) = 6 + 24 - 20 = 10 \, \text{кН} \]
На этом участке \(Q(x)\) постоянна и равна 10 кН.
5. В точке B: \(x = 13 \, \text{м}\)
\[ Q(13) = R_A - F_1 + q_1 \cdot 6 - F_2 - F_3 \]
\[ Q(13) = 36 - 30 + 24 - 20 - 10 = 0 \, \text{кН} \]
Эпюра замыкается на ноль, что подтверждает правильность расчетов.
Построение эпюры изгибающих моментов \(M(x)\)
Примем, что изгибающий момент положителен, если он вызывает растяжение нижних волокон балки (то есть, балка прогибается вниз).
1. Участок I: \(0 \le x < 2 \, \text{м}\)
\[ M(x) = -M_A^{\text{оп}} + M_A + R_A \cdot x - F_1 \cdot x \]
\[ M(x) = -340 + 30 + 36x - 30x \]
\[ M(x) = -310 + 6x \]
* При \(x = 0 \, \text{м}\): \(M(0) = -310 \, \text{кН} \cdot \text{м}\) (это момент от защемления и приложенного момента \(M_A\)).
* При \(x = 2 \, \text{м}\): \(M(2) = -310 + 6 \cdot 2 = -310 + 12 = -298 \, \text{кН} \cdot \text{м}\).
На этом участке \(M(x)\) изменяется линейно от -310 до -298.
2. Участок II: \(2 \le x < 8 \, \text{м}\)
\[ M(x) = -M_A^{\text{оп}} + M_A + R_A \cdot x - F_1 \cdot x + q_1 \cdot (x - 2) \cdot \frac{(x - 2)}{2} \]
\[ M(x) = -340 + 30 + 36x - 30x + 4 \cdot \frac{(x - 2)^2}{2} \]
\[ M(x) = -310 + 6x + 2(x - 2)^2 \]
\[ M(x) = -310 + 6x + 2(x^2 - 4x + 4) \]
\[ M(x) = -310 + 6x + 2x^2 - 8x + 8 \]
\[ M(x) = 2x^2 - 2x - 302 \]
* При \(x = 2 \, \text{м}\): \(M(2) = 2 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 - 302 = 8 - 4 - 302 = -298 \, \text{кН} \cdot \text{м}\) (совпадает с предыдущим участком).
* При \(x = 8 \, \text{м}\): \(M(8) = 2 \cdot 8^2 - 2 \cdot 8 - 302 = 2 \cdot 64 - 16 - 302 = 128 - 16 - 302 = -190 \, \text{кН} \cdot \text{м}\).
На этом участке \(M(x)\) изменяется по параболе.
Для нахождения экстремума приравняем \(Q(x) = 0\):
\[ 4x - 2 = 0 \]
\[ 4x = 2 \]
\[ x = 0.5 \, \text{м} \]
Этот экстремум находится вне участка II (он находится на участке I). Значит, экстремум момента на участке II будет на его границах.
3. Участок III: \(8 \le x < 10 \, \text{м}\)
\[ M(x) = -M_A^{\text{оп}} + M_A + R_A \cdot x - F_1 \cdot x + q_1 \cdot 6 \cdot (x - (2 + \frac{6}{2})) - M \]
\[ M(x) = -340 + 30 + 36x - 30x + 24 \cdot (x - 5) - 40 \]
\[ M(x) = -310 + 6x + 24x - 120 - 40 \]
\[ M(x) = 30x - 470 \]
* При \(x = 8 \, \text{м}\): \(M(8) = 30 \cdot 8 - 470 = 240 - 470 = -230 \, \text{кН} \cdot \text{м}\).
Здесь есть скачок из-за приложенного момента \(M = 40 \, \text{кН} \cdot \text{м}\).
Момент до приложения \(M\): \(M(8^-) = -190 \, \text{кН} \cdot \text{м}\).
Момент после приложения \(M\): \(M(8^+) = M(8^-) - M = -190 - 40 = -230 \, \text{кН} \cdot \text{м}\).
(Приложенный момент против часовой стрелки, поэтому он уменьшает изгибающий момент, если мы идем слева направо).
* При \(x = 10 \, \text{м}\): \(M(10) = 30 \cdot 10 - 470 = 300 - 470 = -170 \, \text{кН} \cdot \text{м}\).
На этом участке \(M(x)\) изменяется линейно от -230 до -170.
4. Участок IV: \(10 \le x < 13 \, \text{м}\)
\[ M(x) = -M_A^{\text{оп}} + M_A + R_A \cdot x - F_1 \cdot x + q_1 \cdot 6 \cdot (x - 5) - M - F_2 \cdot (x - 10) \]
\[ M(x) = -340 + 30 + 36x - 30x + 24(x - 5) - 40 - 20(x - 10) \]
\[ M(x) = -310 + 6x + 24x - 120 - 40 - 20x + 200 \]
\[ M(x) = (6 + 24 - 20)x + (-310 - 120 - 40 + 200) \]
\[ M(x) = 10x - 270 \]
* При \(x = 10 \, \text{м}\): \(M(10) = 10 \cdot 10 - 270 = 100 - 270 = -170 \, \text{кН} \cdot \text{м}\) (совпадает с предыдущим участком).
* При \(x = 13 \, \text{м}\): \(M(13) = 10 \cdot 13 - 270 = 130 - 270 = -140 \, \text{кН} \cdot \text{м}\).
На этом участке \(M(x)\) изменяется линейно от -170 до -140.
5. В точке B: \(x = 13 \, \text{м}\)
Момент в конце балки должен быть равен нулю, если нет приложенного момента.
\[ M(13) = -M_A^{\text{оп}} + M_A + R_A \cdot 13 - F_1 \cdot 13 + q_1 \cdot 6 \cdot (13 - 5) - M - F_2 \cdot (13 - 10) - F_3 \cdot (13 - 13) \]
\[ M(13) = -340 + 30 + 36 \cdot 13 - 30 \cdot 13 + 24 \cdot 8 - 40 - 20 \cdot 3 - 10 \cdot 0 \]
\[ M(13) = -310 + 6 \cdot 13 + 192 - 40 - 60 \]
\[ M(13) = -310 + 78 + 192 - 40 - 60 \]
\[ M(13) = -310 + 310 = 0 \, \text{кН} \cdot \text{м} \]
Эпюра замыкается на ноль, что подтверждает правильность расчетов.
Сравнение с эпюрами на рисунке
Давайте сравним полученные значения с эпюрами, нарисованными на изображении.
Эпюра поперечных сил \(Q(x)\)
* Начало: \(Q(0) = 6\). На рисунке \(Q(0) = 6\).
* Участок I (\(0 \le x < 2\)): \(Q(x) = 6\). На рисунке постоянная 6.
* Участок II (\(2 \le x < 8\)): \(Q(2) = 6\), \(Q(8) = 30\). На рисунке линейное изменение от 6 до 30.
* Участок III (\(8 \le x < 10\)): \(Q(x) = 30\). На рисунке постоянная 30.
* Участок IV (\(10 \le x < 13\)): \(Q(x) = 10\). На рисунке постоянная 10.
* Конец: \(Q(13) = 0\). На рисунке 0.
Эпюра поперечных сил на рисунке соответствует нашим расчетам.
Эпюра изгибающих моментов \(M(x)\)
* Начало: \(M(0) = -310\). На рисунке \(M(0) = -30\). Здесь есть расхождение.
На рисунке, похоже, начальный
