Найти площадь и центр тяжести плоской фигуры

Давайте найдем площадь и координаты центра тяжести данной плоской фигуры. Фигура состоит из нескольких прямолинейных участков и одного криволинейного участка. Криволинейный участок, судя по изображению, является половиной окружности. Сначала разобьем фигуру на более простые геометрические формы: прямоугольники, треугольники и полукруг. Обозначим вершины фигуры по часовой стрелке, начиная с верхнего левого угла: A = (0, 6) B = (2, 6) C = (2, 2) D = (7, 0) E = (10, 3.5) (приблизительно, так как точка не отмечена явно, но по масштабу это выглядит как (10, 3.5)) F = (8, 3.5) (приблизительно, так как точка не отмечена явно, но по масштабу это выглядит как (8, 3.5)) G = (8, 4.5) (приблизительно, так как точка не отмечена явно, но по масштабу это выглядит как (8, 4.5)) H = (6, 4.5) (приблизительно, так как точка не отмечена явно, но по масштабу это выглядит как (6, 4.5)) I = (6, 5.5) (приблизительно, так как точка не отмечена явно, но по масштабу это выглядит как (6, 5.5)) J = (5, 5.5) (приблизительно, так как точка не отмечена явно, но по масштабу это выглядит как (5, 5.5)) K = (5, 6) Криволинейный участок - это полукруг с центром на оси y. Радиус полукруга: \(R = (6 - 2) / 2 = 2\) м. Центр полукруга: \((0, (6+2)/2) = (0, 4)\). Для удобства разобьем фигуру на следующие части: 1. Прямоугольник 1: от (0, 0) до (2, 2) 2. Треугольник 1: от (2, 2) до (7, 0) до (2, 0) 3. Прямоугольник 2: от (2, 2) до (5, 5.5) (это не совсем прямоугольник, но можно разбить на части) 4. Прямоугольник 3: от (5, 5.5) до (6, 5.5) 5. Прямоугольник 4: от (6, 4.5) до (8, 4.5) 6. Треугольник 2: от (7, 0) до (10, 3.5) до (8, 3.5) (это не совсем треугольник, но можно разбить на части) 7. Полукруг: с центром (0, 4) и радиусом 2. Давайте пересмотрим разбиение, чтобы было проще. Разобьем фигуру на следующие части: 1. Прямоугольник A: от (0, 0) до (2, 2). 2. Треугольник B: вершины (2, 2), (7, 0), (2, 0). 3. Прямоугольник C: вершины (2, 2), (5, 2), (5, 5.5), (2, 5.5). 4. Прямоугольник D: вершины (5, 5.5), (6, 5.5), (6, 4.5), (5, 4.5). 5. Прямоугольник E: вершины (6, 4.5), (8, 4.5), (8, 3.5), (6, 3.5). 6. Трапеция F: вершины (7, 0), (10, 0), (10, 3.5), (8, 3.5). 7. Полукруг G: с центром (0, 4) и радиусом 2, вырезанный из прямоугольника (0, 2) до (0, 6). Это слишком сложное разбиение. Давайте попробуем более простой подход, используя метод вычитания и сложения. Рассмотрим фигуру как большой прямоугольник, из которого вырезаны части и к которому добавлены части. Или, что еще проще, разобьем на несколько простых фигур: 1. Прямоугольник 1: от (0, 0) до (2, 2). 2. Треугольник 1: вершины (2, 2), (7, 0), (2, 0). 3. Прямоугольник 2: от (2, 2) до (5, 5.5). 4. Прямоугольник 3: от (5, 5.5) до (6, 4.5). 5. Прямоугольник 4: от (6, 4.5) до (8, 3.5). 6. Треугольник 2: вершины (7, 0), (10, 3.5), (8, 3.5). 7. Полукруг: с центром (0, 4) и радиусом 2. Давайте еще раз внимательно посмотрим на фигуру и разобьем ее на части, которые легко вычислить. Представим фигуру как сумму и разность следующих частей: Часть 1: Прямоугольник с вершинами (0, 0), (10, 0), (10, 6), (0, 6). Площадь \(A_1 = 10 \times 6 = 60\) м\(^2\). Центр тяжести \(C_1 = (10/2, 6/2) = (5, 3)\). Теперь вычтем "пустые" области и добавим "выступающие" области. Давайте лучше разобьем фигуру на 5-6 простых частей. 1. Прямоугольник 1: от (0, 0) до (2, 2). Ширина \(b_1 = 2\), высота \(h_1 = 2\). Площадь \(A_1 = b_1 \times h_1 = 2 \times 2 = 4\) м\(^2\). Центр тяжести \(x_1 = 2/2 = 1\), \(y_1 = 2/2 = 1\). 2. Треугольник 1: вершины (2, 2), (7, 0), (2, 0). Основание \(b_2 = 7 - 2 = 5\), высота \(h_2 = 2\). Площадь \(A_2 = (1/2) \times b_2 \times h_2 = (1/2) \times 5 \times 2 = 5\) м\(^2\). Центр тяжести \(x_2 = 2 + (2/3) \times 5 = 2 + 10/3 = 2 + 3.33 = 5.33\) (относительно оси y). Или \(x_2 = 2 + (1/3) \times 5 = 2 + 5/3 = 3.67\) (относительно вершины (2,0)). Правильно: \(x_2 = 2 + (7-2)/3 = 2 + 5/3 = 3.67\). \(y_2 = 0 + (1/3) \times 2 = 2/3 = 0.67\). 3. Прямоугольник 2: от (2, 2) до (5, 5.5). Ширина \(b_3 = 5 - 2 = 3\), высота \(h_3 = 5.5 - 2 = 3.5\). Площадь \(A_3 = b_3 \times h_3 = 3 \times 3.5 = 10.5\) м\(^2\). Центр тяжести \(x_3 = 2 + 3/2 = 3.5\), \(y_3 = 2 + 3.5/2 = 2 + 1.75 = 3.75\). 4. Прямоугольник 3: от (5, 4.5) до (6, 5.5). Ширина \(b_4 = 6 - 5 = 1\), высота \(h_4 = 5.5 - 4.5 = 1\). Площадь \(A_4 = b_4 \times h_4 = 1 \times 1 = 1\) м\(^2\). Центр тяжести \(x_4 = 5 + 1/2 = 5.5\), \(y_4 = 4.5 + 1/2 = 5\). 5. Прямоугольник 4: от (6, 3.5) до (8, 4.5). Ширина \(b_5 = 8 - 6 = 2\), высота \(h_5 = 4.5 - 3.5 = 1\). Площадь \(A_5 = b_5 \times h_5 = 2 \times 1 = 2\) м\(^2\). Центр тяжести \(x_5 = 6 + 2/2 = 7\), \(y_5 = 3.5 + 1/2 = 4\). 6. Трапеция 1: вершины (7, 0), (10, 0), (10, 3.5), (8, 3.5). Верхнее основание \(a = 10 - 8 = 2\), нижнее основание \(b = 10 - 7 = 3\), высота \(h = 3.5\). Площадь \(A_6 = (a + b)/2 \times h = (2 + 3)/2 \times 3.5 = 2.5 \times 3.5 = 8.75\) м\(^2\). Центр тяжести трапеции: \(x_6 = 7 + (b^2 + ab + a^2) / (3(a+b)) = 7 + (3^2 + 3 \times 2 + 2^2) / (3(2+3)) = 7 + (9 + 6 + 4) / (3 \times 5) = 7 + 19/15 = 7 + 1.267 = 8.267\). \(y_6 = h/3 \times (b + 2a) / (a + b) = 3.5/3 \times (3 + 2 \times 2) / (2 + 3) = 3.5/3 \times (3 + 4) / 5 = 3.5/3 \times 7/5 = 24.5/15 = 1.633\). 7. Полукруг: вырезан из прямоугольника (0, 2) до (0, 6). Радиус \(R = (6 - 2) / 2 = 2\) м. Площадь полукруга \(A_7 = (1/2) \times \pi \times R^2 = (1/2) \times \pi \times 2^2 = 2\pi \approx 6.28\) м\(^2\). Центр тяжести полукруга (относительно его диаметра, который лежит на оси y): \(x_7 = - (4R) / (3\pi) = - (4 \times 2) / (3\pi) = - 8 / (3\pi) \approx - 0.849\). \(y_7 = (2 + 6) / 2 = 4\). Теперь сложим площади всех частей, кроме полукруга, который вычитается. Общая площадь \(A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 - A_7\). \(A = 4 + 5 + 10.5 + 1 + 2 + 8.75 - 6.28 = 31.25 - 6.28 = 24.97\) м\(^2\). Теперь найдем координаты центра тяжести \(X_c\) и \(Y_c\). \[X_c = \frac{\sum (A_i \times x_i)}{\sum A_i}\] \[Y_c = \frac{\sum (A_i \times y_i)}{\sum A_i}\] Вычислим \(A_i \times x_i\) и \(A_i \times y_i\) для каждой части: 1. \(A_1 \times x_1 = 4 \times 1 = 4\) \(A_1 \times y_1 = 4 \times 1 = 4\) 2. \(A_2 \times x_2 = 5 \times 3.67 = 18.35\) \(A_2 \times y_2 = 5 \times 0.67 = 3.35\) 3. \(A_3 \times x_3 = 10.5 \times 3.5 = 36.75\) \(A_3 \times y_3 = 10.5 \times 3.75 = 39.375\) 4. \(A_4 \times x_4 = 1 \times 5.5 = 5.5\) \(A_4 \times y_4 = 1 \times 5 = 5\) 5. \(A_5 \times x_5 = 2 \times 7 = 14\) \(A_5 \times y_5 = 2 \times 4 = 8\) 6. \(A_6 \times x_6 = 8.75 \times 8.267 = 72.336\) \(A_6 \times y_6 = 8.75 \times 1.633 = 14.29\) 7. Для полукруга, так как он вычитается, его произведения будут с отрицательным знаком: \(A_7 \times x_7 = 6.28 \times (-0.849) = -5.33\) \(A_7 \times y_7 = 6.28 \times 4 = 25.12\) (но так как вычитается, то \(-25.12\)) Сумма \(A_i \times x_i\): \(4 + 18.35 + 36.75 + 5.5 + 14 + 72.336 - 5.33 = 145.606\) Сумма \(A_i \times y_i\): \(4 + 3.35 + 39.375 + 5 + 8 + 14.29 - 25.12 = 48.895\) Теперь вычислим \(X_c\) и \(Y_c\): \[X_c = \frac{145.606}{24.97} \approx 5.83\] \[Y_c = \frac{48.895}{24.97} \approx 1.96\] Итак, Площадь фигуры: \(A \approx 24.97\) м\(^2\). Координаты центра тяжести: \(C \approx (5.83, 1.96)\) м. Давайте перепроверим разбиение и расчеты, так как это довольно сложная фигура. Возможно, есть более простой способ разбиения. Рассмотрим фигуру как сумму следующих частей: 1. Прямоугольник 1: от (0, 0) до (2, 6). Площадь \(A_1 = 2 \times 6 = 12\) м\(^2\). Центр тяжести \(x_1 = 1\), \(y_1 = 3\). 2. Прямоугольник 2: от (2, 5.5) до (5, 6). Площадь \(A_2 = (5-2) \times (6-5.5) = 3 \times 0.5 = 1.5\) м\(^2\). Центр тяжести \(x_2 = 2 + (5-2)/2 = 3.5\), \(y_2 = 5.5 + (6-5.5)/2 = 5.75\). 3. Прямоугольник 3: от (5, 4.5) до (6, 5.5). Площадь \(A_3 = (6-5) \times (5.5-4.5) = 1 \times 1 = 1\) м\(^2\). Центр тяжести \(x_3 = 5 + (6-5)/2 = 5.5\), \(y_3 = 4.5 + (5.5-4.5)/2 = 5\). 4. Прямоугольник 4: от (6, 3.5) до (8, 4.5). Площадь \(A_4 = (8-6) \times (4.5-3.5) = 2 \times 1 = 2\) м\(^2\). Цент