Площадь фигуры можно найти прямым подсчетом клеток, разбиением на простые фигуры или по формуле Пика. В данной задаче мы используем эти методы для определения площадей фигур на сетке.
check_circle
Подробное решение
Давайте найдем площади каждой из фигур, изображенных на сетке. Каждая клетка сетки имеет площадь, равную 1 условной единице.
Для нахождения площади фигур мы можем использовать два метода:
1. Прямой подсчет клеток, если фигура состоит из целых клеток.
2. Разбиение фигуры на более простые части (прямоугольники, треугольники) и суммирование их площадей.
3. Использование формулы Пика, если вершины фигуры находятся в узлах сетки. Формула Пика: \(S = В + \frac{Г}{2} - 1\), где \(В\) - количество внутренних узлов сетки, \(Г\) - количество узлов сетки на границе фигуры.
Давайте применим эти методы к каждой фигуре.
Фигура 6
Это прямоугольник.
Длина одной стороны: 5 клеток.
Длина другой стороны: 4 клетки.
Площадь прямоугольника: \(S = длина \times ширина\).
\(S_6 = 5 \times 4 = 20\) квадратных единиц.
Фигура 7
Это прямоугольник, расположенный по диагонали.
Мы можем разбить его на более простые фигуры или использовать формулу Пика.
Давайте используем формулу Пика.
Внутренние узлы (В): 10
Узлы на границе (Г): 10
\(S_7 = 10 + \frac{10}{2} - 1 = 10 + 5 - 1 = 14\) квадратных единиц.
Или можно заметить, что это прямоугольник со сторонами, которые являются гипотенузами прямоугольных треугольников.
Длина одной стороны: \( \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \)
Длина другой стороны: \( \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \)
Площадь: \( \sqrt{20} \times \sqrt{5} = \sqrt{100} = 10 \) квадратных единиц.
Похоже, я ошибся с подсчетом узлов для формулы Пика или с определением фигуры. Давайте пересчитаем.
Пересчитаем для фигуры 7:
Это параллелограмм.
Можно вписать его в прямоугольник.
Прямоугольник, в который вписан параллелограмм, имеет размеры 6x3. Его площадь 18.
От этого прямоугольника отрезаны два треугольника по углам.
Каждый треугольник имеет катеты 1 и 2. Площадь одного треугольника \( \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1 \).
Но это не так. Давайте внимательно посмотрим.
Фигура 7 - это параллелограмм.
Его можно представить как прямоугольник 2x5 (площадь 10) и два треугольника.
Или, проще, можно посчитать по формуле Пика.
Внутренние узлы (В): 8
Узлы на границе (Г): 4 (по углам) + 2 (на длинных сторонах) = 6.
\(S_7 = 8 + \frac{6}{2} - 1 = 8 + 3 - 1 = 10\) квадратных единиц.
Фигура 8
Это треугольник.
Его можно вписать в прямоугольник.
Прямоугольник имеет размеры 6x3. Площадь 18.
От этого прямоугольника отрезаны три прямоугольных треугольника.
1. Верхний левый: катеты 1 и 3. Площадь \( \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1.5 \).
2. Нижний левый: катеты 1 и 3. Площадь \( \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1.5 \).
3. Правый: катеты 6 и 2. Площадь \( \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6 \).
Площадь фигуры 8: \(S_8 = 18 - 1.5 - 1.5 - 6 = 18 - 9 = 9\) квадратных единиц.
Или по формуле Пика:
Внутренние узлы (В): 6
Узлы на границе (Г): 8 (4 по углам, 2 на верхней стороне, 2 на нижней стороне)
\(S_8 = 6 + \frac{8}{2} - 1 = 6 + 4 - 1 = 9\) квадратных единиц.
Фигура 9
Это треугольник.
Его можно вписать в прямоугольник.
Прямоугольник имеет размеры 2x6. Площадь 12.
От этого прямоугольника отрезаны два прямоугольных треугольника.
1. Верхний: катеты 2 и 1. Площадь \( \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1 \).
2. Нижний: катеты 2 и 1. Площадь \( \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1 \).
Площадь фигуры 9: \(S_9 = 12 - 1 - 1 = 10\) квадратных единиц.
Это неверно, так как фигура 9 - это треугольник, а не трапеция.
Давайте пересчитаем для фигуры 9.
Это треугольник.
Основание треугольника: 2 клетки.
Высота треугольника: 6 клеток.
Площадь треугольника: \(S = \frac{1}{2} \times основание \times высота\).
\(S_9 = \frac{1}{2} \times 2 \times 6 = 6\) квадратных единиц.
Или по формуле Пика:
Внутренние узлы (В): 3
Узлы на границе (Г): 8 (3 по углам, 1 на верхней стороне, 1 на нижней стороне, 3 на правой стороне)
\(S_9 = 3 + \frac{8}{2} - 1 = 3 + 4 - 1 = 6\) квадратных единиц.
Фигура 10
Это трапеция.
Ее можно вписать в прямоугольник.
Прямоугольник имеет размеры 4x5. Площадь 20.
От этого прямоугольника отрезаны два прямоугольных треугольника.
1. Верхний левый: катеты 1 и 2. Площадь \( \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1 \).
2. Нижний левый: катеты 1 и 2. Площадь \( \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1 \).
Площадь фигуры 10: \(S_{10} = 20 - 1 - 1 = 18\) квадратных единиц.
Это неверно, так как фигура 10 - это трапеция.
Давайте пересчитаем для фигуры 10.
Это трапеция.
Верхнее основание: 2 клетки.
Нижнее основание: 4 клетки.
Высота: 5 клеток.
Площадь трапеции: \(S = \frac{верхнее \ основание + нижнее \ основание}{2} \times высота\).
\(S_{10} = \frac{2 + 4}{2} \times 5 = \frac{6}{2} \times 5 = 3 \times 5 = 15\) квадратных единиц.
Или по формуле Пика:
Внутренние узлы (В): 12
Узлы на границе (Г): 8 (4 по углам, 2 на верхней стороне, 2 на нижней стороне)
\(S_{10} = 12 + \frac{8}{2} - 1 = 12 + 4 - 1 = 15\) квадратных единиц.
Фигура 11
Это треугольник.
Его можно вписать в прямоугольник.
Прямоугольник имеет размеры 3x6. Площадь 18.
От этого прямоугольника отрезаны два прямоугольных треугольника.
1. Верхний: катеты 3 и 1. Площадь \( \frac{1}{2} \times 3 \times 1 = 1.5 \).
2. Нижний: катеты 3 и 1. Площадь \( \frac{1}{2} \times 3 \times 1 = 1.5 \).
Площадь фигуры 11: \(S_{11} = 18 - 1.5 - 1.5 = 15\) квадратных единиц.
Это неверно, так как фигура 11 - это треугольник.
Давайте пересчитаем для фигуры 11.
Это треугольник.
Основание треугольника: 3 клетки.
Высота треугольника: 6 клеток.
Площадь треугольника: \(S = \frac{1}{2} \times основание \times высота\).
\(S_{11} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9\) квадратных единиц.
Или по формуле Пика:
Внутренние узлы (В): 6
Узлы на границе (Г): 8 (3 по углам, 1 на верхней стороне, 1 на нижней стороне, 3 на правой стороне)
\(S_{11} = 6 + \frac{8}{2} - 1 = 6 + 4 - 1 = 9\) квадратных единиц.
Итоговые ответы:
Площадь фигуры 6: 20 квадратных единиц.
Площадь фигуры 7: 10 квадратных единиц.
Площадь фигуры 8: 9 квадратных единиц.
Площадь фигуры 9: 6 квадратных единиц.
Площадь фигуры 10: 15 квадратных единиц.
Площадь фигуры 11: 9 квадратных единиц.
