Момент импульса: Решение задачи для школы

Ниже представлены ответы на вопросы из вашего билета, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Вопрос 1. Момент импульса (определение, единицы измерения). Закон сохранения момента импульса. Определение: Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки (центра) называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора точки на её импульс. Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, момент импульса равен произведению момента инерции тела на его угловую скорость. Формула для материальной точки: \[ \vec{L} = [\vec{r} \times \vec{p}] \] Формула для вращающегося тела: \[ L = I \omega \] где \( I \) — момент инерции тела, \( \omega \) — угловая скорость. Единицы измерения: В системе СИ момент импульса измеряется в килограмм-метрах в квадрате на секунду: \[ [L] = кг \cdot м^2 / с \] Закон сохранения момента импульса: Если суммарный момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то момент импульса системы остается величиной постоянной. \[ \vec{L} = const \] или для вращающегося тела: \[ I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2 \] Вопрос 2. Потенциальная и кинетическая энергия колебательной системы. Полная энергия колебательной системы. Рассмотрим гармонические колебания на примере пружинного маятника, где смещение описывается уравнением \( x = A \cos(\omega_0 t + \phi_0) \). 1. Кинетическая энергия системы обусловлена движением груза: \[ E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{mA^2 \omega_0^2}{2} \sin^2(\omega_0 t + \phi_0) \] 2. Потенциальная энергия системы обусловлена деформацией пружины: \[ E_p = \frac{kx^2}{2} = \frac{kA^2}{2} \cos^2(\omega_0 t + \phi_0) \] Так как \( k = m \omega_0^2 \), формулу можно записать через массу и циклическую частоту. 3. Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий: \[ E = E_k + E_p \] Подставляя значения и используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), получаем: \[ E = \frac{kA^2}{2} = \frac{m \omega_0^2 A^2}{2} \] Полная энергия колебательной системы пропорциональна квадрату амплитуды колебаний и остается постоянной во времени при отсутствии сил трения.