schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи №11: Построение сечения треугольной призмы
help_outlineУсловие задачи
Найти правильный ответ
lightbulbКраткий ответ
Для решения задачи №11 необходимо построить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданные точки, и проанализировать образовавшиеся многогранники. Ключевым является параллельность линий пересечения секущей плоскости с основаниями призмы.
Подробное решение
Задача №11
Дано:
Правильная треугольная призма.
Точки \(M\) и \(N\) лежат на ребрах верхнего основания.
Точка \(K\) лежит на ребре нижнего основания.
Решение:
1. Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через точки \(M\), \(N\) и \(K\).
Так как точки \(M\) и \(N\) лежат в плоскости верхнего основания, проведем прямую \(MN\). Она пересечет третье ребро верхнего основания (или его продолжение).
Так как плоскости оснований параллельны, линии пересечения секущей плоскости с основаниями должны быть параллельны. Проведем через точку \(K\) прямую, параллельную \(MN\). Эта прямая пересечет еще одно ребро нижнего основания.
Соединим полученные точки на боковых ребрах или ребрах оснований.
2. Анализ полученных многогранников:
Плоскость сечения проходит через три грани призмы (верхнее основание, нижнее основание и одну или две боковые грани в зависимости от точного положения точек).
В данном случае сечение представляет собой четырехугольник (трапецию), так как \(MN\) параллельна линии в нижнем основании.
Секущая плоскость делит призму на два многогранника.
3. Подсчет характеристик:
Верхний многогранник (отсеченная "верхушка"):
У него будет 5 граней (нижнее основание — само сечение, верхнее — часть старого основания и 3 боковые грани).
Количество ребер у него: 3 (сверху) + 4 (сечение) + ребра, соединяющие их = 9 ребер.
Нижний многогранник (оставшаяся часть):
Грани:
1) Нижнее основание призмы (1 грань).
2) Верхняя грань — само сечение (1 грань).
3) Боковые грани призмы, которые теперь стали сложными многоугольниками (3 грани).
4) Часть верхнего основания призмы (1 грань).
Итого: \(1 + 1 + 3 + 1 = 6\) граней.
Подсчитаем ребра нижнего многогранника:
Нижнее основание: 3 ребра.
Сечение: 4 ребра.
Боковые ребра (вертикальные): 3 ребра.
Остатки верхнего основания: 2 ребра.
Всего ребер: \(3 + 4 + 3 + 2 = 12\) ребер.
Сравним количество ребер:
У первого многогранника 9 ребер.
У второго многогранника 12 ребер.
Следовательно, многогранник с большим числом ребер — это нижний. У него 6 граней.
Ответ: 6