Задача 1. Соотнесите размеры предмета и тени.
Свет от точечного источника падает на фанерный круг. В результате на экране, параллельном кругу, образуется круглая тень диаметром 80 см. Определите диаметр фанерного круга, если известно, что расстояние от источника света до круга в 4 раза меньше, чем расстояние от круга до экрана.
Дано:
- Диаметр тени \(D_{тени} = 80\) см
- Расстояние от источника света до круга: \(L_1\)
- Расстояние от круга до экрана: \(L_2\)
- Известно, что \(L_1 = \frac{1}{4} L_2\)
Найти:
- Диаметр фанерного круга: \(D_{круга}\)
Решение:
Эта задача основана на принципе подобия треугольников, который возникает при образовании тени от точечного источника света.
Представим себе схему: точечный источник света, затем фанерный круг, а за ним экран. Лучи света, идущие от источника, касаются краев круга и продолжаются до экрана, образуя тень.
Мы можем рассмотреть два подобных треугольника:
- Первый треугольник образован источником света и радиусом фанерного круга. Его высота — это расстояние от источника до круга (\(L_1\)), а основание — радиус круга (\(R_{круга}\)).
- Второй треугольник образован источником света и радиусом тени на экране. Его высота — это расстояние от источника до экрана (\(L_1 + L_2\)), а основание — радиус тени (\(R_{тени}\)).
Из подобия этих треугольников следует соотношение:
\[ \frac{R_{круга}}{L_1} = \frac{R_{тени}}{L_1 + L_2} \]Мы знаем, что диаметр — это два радиуса (\(D = 2R\)), поэтому мы можем переписать это соотношение через диаметры:
\[ \frac{D_{круга}}{L_1} = \frac{D_{тени}}{L_1 + L_2} \]Теперь подставим известные значения и соотношения:
Нам дано, что \(L_1 = \frac{1}{4} L_2\). Отсюда можно выразить \(L_2 = 4 L_1\).
Подставим это в знаменатель:
\[ \frac{D_{круга}}{L_1} = \frac{D_{тени}}{L_1 + 4 L_1} \] \[ \frac{D_{круга}}{L_1} = \frac{D_{тени}}{5 L_1} \]Теперь мы можем сократить \(L_1\) с обеих сторон уравнения:
\[ D_{круга} = \frac{D_{тени}}{5} \]Подставим значение диаметра тени:
\[ D_{круга} = \frac{80 \text{ см}}{5} \] \[ D_{круга} = 16 \text{ см} \]Ответ:
Диаметр фанерного круга равен 16 см.