Найти общий вид первообразной функции f(x) = (3x³ + 3x + 3)/x

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.

7. Найдите общий вид первообразных функции.

Дана функция: \[f(x) = \frac{3x^3 + 3x + 3}{x}\] И общий вид первообразной: \[F(x) = ax^n + bx^m + k\ln|x| + C\] Чтобы найти значения \(a\), \(n\), \(b\), \(m\), \(k\), нам нужно сначала упростить функцию \(f(x)\), а затем найти её первообразную.

Шаг 1: Упростим функцию \(f(x)\)

Разделим каждый член числителя на \(x\): \[f(x) = \frac{3x^3}{x} + \frac{3x}{x} + \frac{3}{x}\] \[f(x) = 3x^{3-1} + 3x^{1-1} + 3x^{-1}\] \[f(x) = 3x^2 + 3x^0 + 3x^{-1}\] Помним, что \(x^0 = 1\) для \(x \neq 0\). \[f(x) = 3x^2 + 3 \cdot 1 + \frac{3}{x}\] \[f(x) = 3x^2 + 3 + \frac{3}{x}\]

Шаг 2: Найдем первообразную функции \(f(x)\)

Для нахождения первообразной используем следующие правила: 1. Первообразная от \(x^p\) равна \(\frac{x^{p+1}}{p+1}\) (для \(p \neq -1\)). 2. Первообразная от константы \(C\) равна \(Cx\). 3. Первообразная от \(\frac{1}{x}\) равна \(\ln|x|\). Применим эти правила к каждому члену функции \(f(x)\): Первообразная от \(3x^2\): \[\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3\] Первообразная от \(3\): \[\int 3 dx = 3x\] Первообразная от \(\frac{3}{x}\): \[\int \frac{3}{x} dx = 3 \int \frac{1}{x} dx = 3\ln|x|\] Теперь сложим все первообразные и добавим константу интегрирования \(C\): \[F(x) = x^3 + 3x + 3\ln|x| + C\]

Шаг 3: Сравним полученную первообразную с заданным видом

Заданный вид первообразной: \[F(x) = ax^n + bx^m + k\ln|x| + C\] Наша полученная первообразная: \[F(x) = 1 \cdot x^3 + 3 \cdot x^1 + 3\ln|x| + C\] Сравнивая члены, получаем: Для члена с \(x^n\): \(a = 1\) \(n = 3\) Для члена с \(x^m\): \(b = 3\) \(m = 1\) Для члена с \(\ln|x|\): \(k = 3\)

Ответ:

\(a = 1\) \(n = 3\) \(b = 3\) \(m = 1\) \(k = 3\)