Задача 2. Представьте физическую ситуацию.
По горизонтальной плите катится небольшой шарик. Под каким углом к поверхности плиты надо установить плоское прямоугольное зеркало, чтобы при движении шарика перпендикулярно линии его соприкосновения с плитой его изображение двигалось вертикально?
Решение:
Для решения этой задачи нам нужно вспомнить законы отражения света от плоского зеркала и свойства изображения, создаваемого плоским зеркалом.
Основные принципы:
- Изображение в плоском зеркале: Изображение, создаваемое плоским зеркалом, является мнимым, прямым и находится на таком же расстоянии за зеркалом, как и предмет перед ним.
- Движение изображения: Если предмет движется, то его изображение также движется. Скорость изображения относительно зеркала равна скорости предмета относительно зеркала, но направлена в противоположную сторону вдоль нормали к зеркалу.
- Вектор скорости: Скорость движения шарика можно разложить на две составляющие: одну, параллельную зеркалу, и другую, перпендикулярную зеркалу.
Анализ ситуации:
Пусть шарик движется по горизонтальной плите. Зеркало установлено под углом \(\alpha\) к поверхности плиты. Шарик движется перпендикулярно линии соприкосновения зеркала с плитой. Это означает, что шарик движется вдоль горизонтальной линии, перпендикулярной к основанию зеркала.
Обозначим скорость шарика как \(\vec{v}\). Мы хотим, чтобы изображение шарика двигалось вертикально.
Рассмотрим систему координат. Пусть ось X направлена вдоль плиты перпендикулярно линии соприкосновения зеркала с плитой (т.е. вдоль движения шарика). Ось Y направлена вертикально вверх.
Если зеркало установлено под углом \(\alpha\) к горизонтальной плите, то нормаль к зеркалу будет составлять угол \(90^\circ - \alpha\) с горизонтальной поверхностью.
Скорость изображения \(\vec{v}'\) относительно неподвижного зеркала связана со скоростью предмета \(\vec{v}\) следующим образом:
Компонента скорости, параллельная зеркалу, не меняется. Компонента скорости, перпендикулярная зеркалу, меняет направление на противоположное.
Пусть скорость шарика \(\vec{v}\) направлена горизонтально. Мы хотим, чтобы скорость изображения \(\vec{v}'\) была направлена вертикально.
Рассмотрим проекции скорости шарика на направления, параллельное и перпендикулярное зеркалу.
Пусть \(\theta\) — угол между вектором скорости шарика (горизонтальным) и нормалью к зеркалу.
Тогда угол между зеркалом и горизонтальной плитой равен \(\alpha\). Угол между нормалью к зеркалу и горизонтальной плитой равен \(90^\circ - \alpha\).
Поскольку шарик движется горизонтально, угол \(\theta\) между скоростью шарика и нормалью к зеркалу равен \(90^\circ - \alpha\).
Скорость изображения \(\vec{v}'\) можно разложить на две компоненты:
- \(v'_{\parallel} = v_{\parallel}\) (компонента скорости, параллельная зеркалу, сохраняется)
- \(v'_{\perp} = -v_{\perp}\) (компонента скорости, перпендикулярная зеркалу, меняет направление)
Для того чтобы изображение двигалось вертикально, горизонтальная составляющая скорости изображения должна быть равна нулю.
Рассмотрим вектор скорости шарика \(\vec{v}\) (горизонтальный). Его проекция на направление, перпендикулярное зеркалу: \(v_{\perp} = v \cos(90^\circ - \alpha) = v \sin \alpha\). Его проекция на направление, параллельное зеркалу: \(v_{\parallel} = v \sin(90^\circ - \alpha) = v \cos \alpha\).
Скорость изображения \(\vec{v}'\) будет иметь компоненты:
Компонента, параллельная зеркалу: \(v'_{\parallel} = v \cos \alpha\). Компонента, перпендикулярная зеркалу: \(v'_{\perp} = -v \sin \alpha\).
Теперь нам нужно найти горизонтальную и вертикальную составляющие скорости изображения.
Угол между зеркалом и горизонталью равен \(\alpha\). Угол между нормалью к зеркалу и горизонталью равен \(90^\circ - \alpha\).
Горизонтальная составляющая скорости изображения: \(v'_{гор} = v'_{\parallel} \cos \alpha - v'_{\perp} \sin \alpha\). Вертикальная составляющая скорости изображения: \(v'_{верт} = v'_{\parallel} \sin \alpha + v'_{\perp} \cos \alpha\).
Подставим \(v'_{\parallel}\) и \(v'_{\perp}\):
\(v'_{гор} = (v \cos \alpha) \cos \alpha - (-v \sin \alpha) \sin \alpha = v \cos^2 \alpha + v \sin^2 \alpha = v (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = v\).
Это неверно, так как скорость изображения не может быть равна скорости предмета в горизонтальном направлении, если оно движется вертикально.
Давайте рассмотрим другой подход, используя углы.
Пусть скорость шарика \(\vec{v}\) направлена горизонтально. Пусть угол между зеркалом и горизонталью равен \(\alpha\).
Вектор скорости шарика \(\vec{v}\) можно разложить на две составляющие: одну, параллельную зеркалу, и другую, перпендикулярную зеркалу.
Угол между \(\vec{v}\) и зеркалом равен \(\alpha\).
Компонента скорости, параллельная зеркалу: \(v_{\parallel} = v \cos \alpha\). Компонента скорости, перпендикулярная зеркалу: \(v_{\perp} = v \sin \alpha\).
Скорость изображения \(\vec{v}'\) будет иметь компоненты:
\(v'_{\parallel} = v \cos \alpha\) (вдоль зеркала) \(v'_{\perp} = -v \sin \alpha\) (перпендикулярно зеркалу, в противоположную сторону)
Теперь нам нужно найти горизонтальную и вертикальную составляющие скорости изображения \(\vec{v}'\).
Вектор \(\vec{v}'\) имеет компоненту \(v'_{\parallel}\) вдоль зеркала и \(v'_{\perp}\) перпендикулярно зеркалу.
Горизонтальная составляющая скорости изображения: \(v'_{x} = v'_{\parallel} \cos \alpha - v'_{\perp} \sin \alpha\). Вертикальная составляющая скорости изображения: \(v'_{y} = v'_{\parallel} \sin \alpha + v'_{\perp} \cos \alpha\).
Подставим \(v'_{\parallel}\) и \(v'_{\perp}\):
\(v'_{x} = (v \cos \alpha) \cos \alpha - (-v \sin \alpha) \sin \alpha = v \cos^2 \alpha + v \sin^2 \alpha = v\).
Это означает, что горизонтальная составляющая скорости изображения всегда равна скорости шарика, что противоречит условию, что изображение движется вертикально.
Давайте пересмотрим условие. "При движении шарика перпендикулярно линии его соприкосновения с плитой". Это означает, что шарик движется горизонтально, перпендикулярно к основанию зеркала.
Рассмотрим геометрию. Пусть шарик находится в точке \((x, y)\). Его изображение будет в точке \((x', y')\).
Если зеркало расположено под углом \(\alpha\) к горизонтали, то его уравнение можно записать как \(y = (\tan \alpha) x\) (если оно проходит через начало координат).
Расстояние от точки \((x_0, y_0)\) до прямой \(Ax + By + C = 0\) равно \(\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\).
Более простой способ — использовать векторный подход или геометрическое построение.
Пусть скорость шарика \(\vec{v}\) направлена горизонтально. Пусть нормаль к зеркалу \(\vec{n}\) составляет угол \(\beta\) с горизонталью. Тогда \(\beta = 90^\circ - \alpha\).
Скорость изображения \(\vec{v}'\) связана со скоростью предмета \(\vec{v}\) формулой:
\[ \vec{v}' = \vec{v} - 2 (\vec{v} \cdot \vec{n}) \vec{n} \]Здесь \(\vec{n}\) — единичный вектор нормали к зеркалу.
Пусть \(\vec{v} = (v, 0)\) (шарик движется горизонтально). Пусть \(\vec{n} = (\cos \beta, \sin \beta)\) (нормаль к зеркалу). Тогда \(\vec{n} = (\cos(90^\circ - \alpha), \sin(90^\circ - \alpha)) = (\sin \alpha, \cos \alpha)\).
Скалярное произведение \(\vec{v} \cdot \vec{n} = v \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = v \sin \alpha\).
Теперь подставим это в формулу для \(\vec{v}'\):
\[ \vec{v}' = (v, 0) - 2 (v \sin \alpha) (\sin \alpha, \cos \alpha) \] \[ \vec{v}' = (v, 0) - (2v \sin^2 \alpha, 2v \sin \alpha \cos \alpha) \] \[ \vec{v}' = (v - 2v \sin^2 \alpha, -2v \sin \alpha \cos \alpha) \]Мы знаем, что \(\cos(2\alpha) = 1 - 2 \sin^2 \alpha\), поэтому \(1 - 2 \sin^2 \alpha = \cos(2\alpha)\).
Также \(\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha\).
Тогда компоненты скорости изображения будут:
\(v'_x = v \cos(2\alpha)\)
\(v'_y = -v \sin(2\alpha)\)
По условию, изображение должно двигаться вертикально. Это означает, что горизонтальная составляющая скорости изображения должна быть равна нулю:
\[ v'_x = 0 \] \[ v \cos(2\alpha) = 0 \]Поскольку \(v \neq 0\), то \(\cos(2\alpha) = 0\).
Это происходит, когда \(2\alpha = 90^\circ\) (или \(2\alpha = 270^\circ\), но угол зеркала к поверхности обычно острый).
\[ 2\alpha = 90^\circ \] \[ \alpha = \frac{90^\circ}{2} \] \[ \alpha = 45^\circ \]При этом вертикальная составляющая скорости изображения будет:
\(v'_y = -v \sin(2 \cdot 45^\circ) = -v \sin(90^\circ) = -v\).
Это означает, что изображение будет двигаться вертикально вниз со скоростью, равной скорости шарика.
Вывод:
Чтобы изображение шарика двигалось вертикально, плоское прямоугольное зеркало должно быть установлено под углом 45° к поверхности плиты.
Проверка вариантов ответа:
- 45° - Подходит.
- Такого угла не существует. - Неверно.
- 60° - Не подходит.
- 90° - Не подходит (зеркало будет вертикально, изображение будет двигаться горизонтально).
- 30° - Не подходит.
Ответ:
45°