3. Найдите, чему равен основной неопределённый интеграл.
Требуется найти неопределённый интеграл: \[\int x^n \, dx\]
Это один из основных табличных интегралов. Формула для интегрирования степенной функции \(x^n\) выглядит следующим образом: \[\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\] Эта формула действительна для всех значений \(n\), кроме \(n = -1\). Если \(n = -1\), то интеграл \(\int x^{-1} \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\).
Среди предложенных вариантов ответа, правильным является тот, который соответствует этой формуле и указывает на ограничение для \(n\).
Рассмотрим варианты: 1. \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1\) — Это правильная формула для неопределённого интеграла степенной функции. 2. \((n-1)x^{n-1} + C\) — Это неверно. Это больше похоже на производную, но даже не совсем. 3. \(\text{arctg}x + C\) — Это интеграл от \(\frac{1}{1+x^2}\), что не соответствует \(\int x^n \, dx\). 4. \(\frac{x^{n-1}}{n-1} + C, n \neq 1\) — Это неверно. Показатель степени должен увеличиваться на 1, а не уменьшаться. 5. \((n+1)x^{n+1} + C\) — Это неверно. Это больше похоже на производную, но даже не совсем.
Таким образом, правильный вариант ответа — первый.
Ответ:
Правильный вариант ответа: \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1\)