Решение интеграла ∫(6x^4 + 3x^2 + 3)/(1+x^2) dx

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.

8. Вычислите интеграл.

Нам нужно вычислить интеграл: \[\int \frac{6x^4 + 3x^2 + 3}{1+x^2} dx\] И представить его в виде: \[F(x) = ax^3 + bx + karctg(x) + C\]

Шаг 1: Выполним деление многочленов

Так как степень числителя (4) больше или равна степени знаменателя (2), мы можем выполнить деление многочленов. Разделим \(6x^4 + 3x^2 + 3\) на \(x^2 + 1\). Можно заметить, что \(6x^4 + 3x^2 + 3 = 6x^2(x^2+1) - 6x^2 + 3x^2 + 3 = 6x^2(x^2+1) - 3x^2 + 3\). Тогда: \[\frac{6x^4 + 3x^2 + 3}{x^2+1} = \frac{6x^2(x^2+1) - 3x^2 + 3}{x^2+1}\] \[= \frac{6x^2(x^2+1)}{x^2+1} + \frac{-3x^2 + 3}{x^2+1}\] \[= 6x^2 + \frac{-3(x^2 - 1)}{x^2+1}\] \[= 6x^2 - \frac{3(x^2 - 1)}{x^2+1}\] Теперь рассмотрим дробь \(\frac{-(3x^2 - 3)}{x^2+1}\). Мы можем записать \(-3x^2 + 3 = -3(x^2+1) + 3 + 3 = -3(x^2+1) + 6\). Тогда: \[\frac{-3x^2 + 3}{x^2+1} = \frac{-3(x^2+1) + 6}{x^2+1} = \frac{-3(x^2+1)}{x^2+1} + \frac{6}{x^2+1}\] \[= -3 + \frac{6}{x^2+1}\] Подставим это обратно в выражение: \[\frac{6x^4 + 3x^2 + 3}{1+x^2} = 6x^2 - 3 + \frac{6}{1+x^2}\]

Шаг 2: Вычислим интеграл от каждого члена

Теперь нам нужно вычислить интеграл от полученного выражения: \[\int \left(6x^2 - 3 + \frac{6}{1+x^2}\right) dx\] Разделим интеграл на сумму интегралов: \[\int 6x^2 dx - \int 3 dx + \int \frac{6}{1+x^2} dx\] Вычислим каждый интеграл по отдельности: 1. \(\int 6x^2 dx = 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3\) 2. \(\int 3 dx = 3x\) 3. \(\int \frac{6}{1+x^2} dx = 6 \int \frac{1}{1+x^2} dx = 6 \operatorname{arctg}(x)\) (поскольку \(\int \frac{1}{1+x^2} dx = \operatorname{arctg}(x) + C\)) Сложим полученные результаты и добавим константу интегрирования \(C\): \[F(x) = 2x^3 - 3x + 6\operatorname{arctg}(x) + C\]

Шаг 3: Сравним полученный результат с заданным видом

Заданный вид первообразной: \[F(x) = ax^3 + bx + karctg(x) + C\] Наша полученная первообразная: \[F(x) = 2x^3 + (-3)x + 6\operatorname{arctg}(x) + C\] Сравнивая коэффициенты, получаем: \(a = 2\) \(b = -3\) \(k = 6\)

Ответ:

\(a = 2\) \(b = -3\) \(k = 6\)