Задача 5. Определите предельный угол полного отражения.
Ответ дайте в градусах с точностью до десятых. Допустимая погрешность — 0,2°.
В прозрачном кристалле свет распространяется со скоростью \(1,84 \cdot 10^8\) м/с. Чему равен предельный угол полного внутреннего отражения света при переходе из этой среды в воздух?
Дано:
- Скорость света в кристалле: \(v_{кристалла} = 1,84 \cdot 10^8\) м/с
- Скорость света в вакууме (приближенно в воздухе): \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с
- Показатель преломления воздуха: \(n_{воздуха} \approx 1\)
Найти:
- Предельный угол полного внутреннего отражения: \(\theta_{пред}\)
Решение:
Полное внутреннее отражение происходит, когда свет переходит из оптически более плотной среды в оптически менее плотную среду, и угол падения превышает некоторый предельный угол.
1. Определим показатель преломления кристалла.
Абсолютный показатель преломления среды \(n\) определяется как отношение скорости света в вакууме \(c\) к скорости света в данной среде \(v\):
\[ n_{кристалла} = \frac{c}{v_{кристалла}} \]Подставим известные значения:
\[ n_{кристалла} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1,84 \cdot 10^8 \text{ м/с}} \] \[ n_{кристалла} = \frac{3}{1,84} \] \[ n_{кристалла} \approx 1,63043... \]2. Определим предельный угол полного внутреннего отражения.
Предельный угол полного внутреннего отражения \(\theta_{пред}\) определяется из закона Снеллиуса. При этом угле преломленный луч идет вдоль границы раздела сред, то есть угол преломления \(\theta_2 = 90^\circ\).
Свет переходит из кристалла (среда 1) в воздух (среда 2).
\[ n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 \]В нашем случае:
- \(n_1 = n_{кристалла}\)
- \(\theta_1 = \theta_{пред}\)
- \(n_2 = n_{воздуха} = 1\)
- \(\theta_2 = 90^\circ\)
Подставим эти значения в закон Снеллиуса:
\[ n_{кристалла} \sin \theta_{пред} = n_{воздуха} \sin 90^\circ \]Так как \(\sin 90^\circ = 1\) и \(n_{воздуха} = 1\), уравнение упрощается:
\[ n_{кристалла} \sin \theta_{пред} = 1 \]Отсюда выразим \(\sin \theta_{пред}\):
\[ \sin \theta_{пред} = \frac{1}{n_{кристалла}} \]Подставим значение \(n_{кристалла}\):
\[ \sin \theta_{пред} = \frac{1}{1,63043...} \] \[ \sin \theta_{пред} \approx 0,61334... \]Теперь найдем сам угол \(\theta_{пред}\), используя арксинус:
\[ \theta_{пред} = \arcsin(0,61334...) \]Используя калькулятор, получаем:
\[ \theta_{пред} \approx 37,836...^\circ \]3. Округлим результат.
По условию задачи, ответ нужно дать в градусах с точностью до десятых.
Смотрим на вторую цифру после запятой. Если она 5 или больше, то первую цифру увеличиваем на 1. Если меньше 5, то оставляем первую цифру без изменения.
В нашем случае вторая цифра — 3, что меньше 5.
Поэтому округляем до 37,8°.
Ответ:
37,8