Решение определённого интеграла ∫cos(x)dx от 0 до π/2

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.

4. Найдите значение определённого интеграла.

Требуется вычислить определённый интеграл: \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx\]
Для вычисления определённого интеграла мы используем формулу Ньютона-Лейбница: \[\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)\] где \(F(x)\) — это первообразная функции \(f(x)\).
Шаг 1: Найдём первообразную функции \(f(x) = \cos x\). Известно, что первообразная функции \(\cos x\) равна \(\sin x\). То есть, \(F(x) = \sin x\).
Шаг 2: Подставим пределы интегрирования в первообразную. Верхний предел: \(b = \frac{\pi}{2}\) Нижний предел: \(a = 0\)
Вычислим \(F(b)\) и \(F(a)\): \(F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\) \(F(0) = \sin(0)\)
Шаг 3: Вычислим значения синуса для данных углов. Известно, что: \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\) \(\sin(0) = 0\)
Шаг 4: Вычислим разность \(F(b) - F(a)\). \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = 1 - 0 = 1\]
Таким образом, значение определённого интеграла равно 1.
Ответ:
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = 1\]