5. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной данными функциями.
Даны функции, ограничивающие криволинейную трапецию: \(f(x) = x^3\) \(y = 0\) (ось абсцисс) \(x = 0\) (левая граница) \(x = 2\) (правая граница)
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(y = f(x)\), осью \(Ox\) и прямыми \(x = a\) и \(x = b\), вычисляется с помощью определённого интеграла по формуле: \[S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\]
В нашем случае: \(f(x) = x^3\) \(a = 0\) \(b = 2\)
Подставим эти значения в формулу для площади: \[S = \int_{0}^{2} x^3 \, dx\]
Шаг 1: Найдём первообразную функции \(x^3\). Используем формулу для интегрирования степенной функции \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\). Для \(n = 3\): \[\int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}\] Таким образом, первообразная \(F(x) = \frac{x^4}{4}\).
Шаг 2: Вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \(F(b) - F(a)\). \[S = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{2}\]
Подставим верхний предел \(x = 2\): \(F(2) = \frac{2^4}{4} = \frac{16}{4} = 4\)
Подставим нижний предел \(x = 0\): \(F(0) = \frac{0^4}{4} = \frac{0}{4} = 0\)
Шаг 3: Вычислим разность. \(S = F(2) - F(0) = 4 - 0 = 4\)
Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна 4.
Ответ:
\(S = 4\)