6. Выберите функцию, которая является первообразной для данной функции.
Дана функция: \[f(x) = -\sin(4x), x \in R\]
Требуется найти первообразную \(F(x)\) для данной функции. Первообразная функции \(f(x)\) — это такая функция \(F(x)\), что её производная \(F'(x)\) равна \(f(x)\).
Мы знаем основные формулы интегрирования: \[\int \sin(kx) \, dx = -\frac{1}{k} \cos(kx) + C\] \[\int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C\]
В нашем случае, функция \(f(x) = -\sin(4x)\). Мы можем вынести константу \(-1\) за знак интеграла: \[F(x) = \int -\sin(4x) \, dx = - \int \sin(4x) \, dx\]
Теперь применим формулу для \(\int \sin(kx) \, dx\) с \(k = 4\): \[\int \sin(4x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(4x) + C_1\]
Подставим это обратно: \[F(x) = - \left(-\frac{1}{4} \cos(4x) + C_1\right)\] \[F(x) = \frac{1}{4} \cos(4x) - C_1\] Поскольку \(C_1\) — произвольная константа, \(-C_1\) также является произвольной константой, которую мы можем обозначить как \(C\). \[F(x) = \frac{1}{4} \cos(4x) + C\]
Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами: 1. \(F(x) = -4\cos(4x) + C\) 2. \(F(x) = -\frac{1}{4}\cos(4x) + C\) 3. \(F(x) = \frac{1}{4}\cos(4x) + C\) 4. \(F(x) = -\frac{1}{4}\cos(4x) + x\) 5. \(F(x) = 4\cos(4x) + C\)
Наш результат \(F(x) = \frac{1}{4}\cos(4x) + C\) совпадает с третьим вариантом.
Для проверки можно взять производную от третьего варианта: \[F'(x) = \left(\frac{1}{4}\cos(4x) + C\right)'\] \[F'(x) = \frac{1}{4} \cdot (-\sin(4x)) \cdot (4x)' + 0\] \[F'(x) = \frac{1}{4} \cdot (-\sin(4x)) \cdot 4\] \[F'(x) = -\sin(4x)\] Что соответствует исходной функции \(f(x)\).
Ответ:
Правильный вариант ответа: \(F(x) = \frac{1}{4}\cos(4x) + C\)