7. Найдите общий вид первообразных функции.
Дана функция: \[f(x) = \frac{3x^3 + 3x + 3}{x}\] Требуется найти её первообразную \(F(x)\) в виде: \[F(x) = ax^n + bx^m + k\ln|x| + C\] и определить значения \(a, n, b, m, k\).
Шаг 1: Упростим функцию \(f(x)\), разделив каждый член числителя на \(x\). \[f(x) = \frac{3x^3}{x} + \frac{3x}{x} + \frac{3}{x}\] \[f(x) = 3x^2 + 3 + \frac{3}{x}\]
Шаг 2: Найдём первообразную \(F(x)\) путём интегрирования каждого члена функции \(f(x)\). \[F(x) = \int (3x^2 + 3 + \frac{3}{x}) \, dx\] Используем свойства интегралов: \[\int (g(x) + h(x)) \, dx = \int g(x) \, dx + \int h(x) \, dx\] \[\int c \cdot g(x) \, dx = c \cdot \int g(x) \, dx\] И основные формулы интегрирования: \[\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)\] \[\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\] \[\int c \, dx = cx + C\]
Интегрируем каждый член: 1. \(\int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3\) 2. \(\int 3 \, dx = 3x\) 3. \(\int \frac{3}{x} \, dx = 3 \int \frac{1}{x} \, dx = 3\ln|x|\)
Складываем полученные первообразные и добавляем общую константу интегрирования \(C\): \[F(x) = x^3 + 3x + 3\ln|x| + C\]
Шаг 3: Сравним полученный вид первообразной с заданным видом \(F(x) = ax^n + bx^m + k\ln|x| + C\). Сравнивая члены: - Член с \(x^n\): \(x^3\). Значит, \(a = 1\) и \(n = 3\). - Член с \(x^m\): \(3x\). Значит, \(b = 3\) и \(m = 1\). - Член с \(\ln|x|\): \(3\ln|x|\). Значит, \(k = 3\).
Таким образом, мы нашли значения всех коэффициентов: \(a = 1\) \(n = 3\) \(b = 3\) \(m = 1\) \(k = 3\)
Ответ:
\(a = 1\) \(n = 3\) \(b = 3\) \(m = 1\) \(k = 3\)