Решение задачи: Найти cos α и tg α при sin α = 1/4

Задание 8. Найдите косинус и тангенс данного угла. Решение: Дано: \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\), \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). Найти: \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\). 1) Найдем \(\cos \alpha\), используя основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \] \[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4} \] Так как угол \(\alpha\) находится во второй четверти (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)), косинус в этой четверти отрицательный. Значит, \(\cos \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4}\). 2) Найдем \(\text{tg} \alpha\) по определению тангенса: \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] \[ \text{tg} \alpha = \frac{1}{4} : \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right) = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{4}{\sqrt{15}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{15}} \] Исходя из полученных расчетов, выбираем правильные варианты из списка: 1. \(-\frac{\sqrt{15}}{4}\) (это значение \(\cos \alpha\)) 2. \(-\frac{1}{\sqrt{15}}\) (это значение \(\text{tg} \alpha\)) Ответ: \(-\frac{\sqrt{15}}{4}\) и \(-\frac{1}{\sqrt{15}}\)