Решение задачи: найти cos угла ABC

Задача №12 Дано: Треугольник \(ABC\) вписан в окружность. Сторона \(AB\) — диаметр окружности. Радиус окружности \(R = 5\). Сторона \(AC = 6\). Найти: \(\cos \angle ABC\). Решение: 1. Вспомним свойство вписанного угла: угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Так как \(AB\) — диаметр, то \(\angle ACB = 90^\circ\). Следовательно, треугольник \(ABC\) — прямоугольный с гипотенузой \(AB\). 2. Найдем длину гипотенузы \(AB\). Поскольку \(AB\) является диаметром, она равна двум радиусам: \[AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 5 = 10\] 3. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) нам известны гипотенуза \(AB = 10\) и катет \(AC = 6\). Найдем второй катет \(BC\) по теореме Пифагора: \[BC^2 + AC^2 = AB^2\] \[BC^2 + 6^2 = 10^2\] \[BC^2 + 36 = 100\] \[BC^2 = 100 - 36 = 64\] \[BC = \sqrt{64} = 8\] 4. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике, косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: \[\cos \angle ABC = \frac{BC}{AB}\] Подставим известные значения: \[\cos \angle ABC = \frac{8}{10} = 0,8\] Ответ: 0,8