Решение задачи №19

Задание № 19 Условие: 1. Число трехзначное и меньше \(300\). 2. При делении на \(8\) и на \(5\) дает равные ненулевые остатки. 3. Первая цифра равна среднему арифметическому двух других цифр. Решение: 1. Пусть искомое число \(N\). По условию \(100 \le N < 300\). Так как остатки при делении на \(8\) и на \(5\) равны, обозначим этот остаток через \(r\). Поскольку остаток при делении на \(5\) может быть только \(1, 2, 3, 4\) (ненулевой по условию), то \(r \in \{1, 2, 3, 4\}\). Число \(N - r\) должно делиться нацело и на \(8\), и на \(5\). Следовательно, \(N - r\) делится на их наименьшее общее кратное: \[НОК(8, 5) = 40\] Значит, \(N = 40k + r\), где \(k\) — целое число, а \(r \in \{1, 2, 3, 4\}\). 2. Выпишем возможные числа \(N\) в диапазоне от \(100\) до \(299\): Для \(k=3\): \(121, 122, 123, 124\) Для \(k=4\): \(161, 162, 163, 164\) Для \(k=5\): \(201, 202, 203, 204\) Для \(k=6\): \(241, 242, 243, 244\) Для \(k=7\): \(281, 282, 283, 284\) 3. Проверим условие про цифры: первая цифра \(a\) равна \(\frac{b + c}{2}\), где \(b\) и \(c\) — вторая и третья цифры. Это значит, что \(2a = b + c\). Рассмотрим числа, начинающиеся на \(1\) (\(a=1\)): Тогда \(b + c = 2 \cdot 1 = 2\). Из нашего списка подходит число \(120\) (но оно не в списке) или комбинации цифр, дающие в сумме \(2\). Проверим \(121\): \(2+1=3 \neq 2\). Проверим \(122\): \(2+2=4 \neq 2\). Проверим \(123\): \(2+3=5 \neq 2\). Проверим \(124\): \(2+4=6 \neq 2\). Проверим \(161, 162, 163, 164\): суммы вторых и третьих цифр явно больше \(2\). Рассмотрим числа, начинающиеся на \(2\) (\(a=2\)): Тогда \(b + c = 2 \cdot 2 = 4\). Проверим список для \(k=5\): \(201 \Rightarrow 0+1=1 \neq 4\) \(202 \Rightarrow 0+2=2 \neq 4\) \(203 \Rightarrow 0+3=3 \neq 4\) \(204 \Rightarrow 0+4=4\). Условие выполняется! Проверим \(204\): - Меньше \(300\): да. - Остаток от деления на \(5\): \(204 = 5 \cdot 40 + 4\) (остаток \(4\)). - Остаток от деления на \(8\): \(204 = 8 \cdot 25 + 4\) (остаток \(4\)). Остатки равны и не равны нулю. - Первая цифра \(2\), остальные \(0\) и \(4\): \(\frac{0+4}{2} = 2\). Условие выполняется. Проверим список для \(k=6\): \(240\) (не подходит, остаток \(0\)). \(241, 242, 243, 244\): суммы \(4+1=5, 4+2=6, 4+3=7, 4+4=8\). Ни одно не дает \(4\). Проверим список для \(k=7\): \(281, 282, 283, 284\): суммы цифр больше \(4\). Искомое число — \(204\). Ответ: 204