Решение задачи №21: Обмен алмазов и рубинов

Задание № 21 Условие: В магазине обмена можно совершить две операции: 1. Отдать 5 алмазов, получить 6 рубинов и 1 изумруд. 2. Отдать 8 рубинов, получить 6 алмазов и 1 изумруд. У Кости были только рубины. После обменов алмазов не появилось (их 0), но появилось 55 изумрудов. На сколько уменьшилось количество рубинов? Решение: Пусть \( x \) — количество операций первого типа, а \( y \) — количество операций второго типа. 1. Посчитаем количество полученных изумрудов. В каждой операции (и первой, и второй) дается по 1 изумруду. Всего их 55, значит: \[ x + y = 55 \] 2. Посчитаем изменение количества алмазов. В первой операции Костя отдает 5 алмазов (\( -5 \)), во второй получает 6 алмазов (\( +6 \)). Так как в итоге алмазов у него не появилось (изначально их тоже было 0), то итоговое изменение равно 0: \[ -5x + 6y = 0 \] 3. Решим систему уравнений: Из первого уравнения выразим \( x \): \[ x = 55 - y \] Подставим во второе уравнение: \[ -5(55 - y) + 6y = 0 \] \[ -275 + 5y + 6y = 0 \] \[ 11y = 275 \] \[ y = 25 \] Теперь найдем \( x \): \[ x = 55 - 25 = 30 \] 4. Теперь посчитаем, как изменилось количество рубинов. В первой операции Костя получает 6 рубинов (\( +6 \)), во второй — отдает 8 рубинов (\( -8 \)). Изменение количества рубинов \( \Delta R \): \[ \Delta R = 6x - 8y \] Подставим найденные значения \( x = 30 \) и \( y = 25 \): \[ \Delta R = 6 \cdot 30 - 8 \cdot 25 \] \[ \Delta R = 180 - 200 = -20 \] Отрицательное число означает, что рубинов стало меньше на 20. Ответ: на 20.