Решение: Сумма, Разность, Произведение и Частное Комплексных Чисел

Даны два комплексных числа: \(z_1 = 3 - 8i\) \(z_2 = 2 + i\) Найдем сумму, разность, произведение и частное этих чисел. 1. Сумма комплексных чисел: Чтобы сложить комплексные числа, нужно сложить их действительные части и их мнимые части отдельно. \[z_1 + z_2 = (3 - 8i) + (2 + i)\] \[z_1 + z_2 = (3 + 2) + (-8i + i)\] \[z_1 + z_2 = 5 - 7i\] 2. Разность комплексных чисел: Чтобы вычесть одно комплексное число из другого, нужно вычесть их действительные части и их мнимые части отдельно. \[z_1 - z_2 = (3 - 8i) - (2 + i)\] \[z_1 - z_2 = 3 - 8i - 2 - i\] \[z_1 - z_2 = (3 - 2) + (-8i - i)\] \[z_1 - z_2 = 1 - 9i\] 3. Произведение комплексных чисел: Чтобы умножить комплексные числа, используем правило умножения двучленов, помня, что \(i^2 = -1\). \[z_1 \cdot z_2 = (3 - 8i) \cdot (2 + i)\] \[z_1 \cdot z_2 = 3 \cdot 2 + 3 \cdot i - 8i \cdot 2 - 8i \cdot i\] \[z_1 \cdot z_2 = 6 + 3i - 16i - 8i^2\] Так как \(i^2 = -1\), подставим это значение: \[z_1 \cdot z_2 = 6 + 3i - 16i - 8(-1)\] \[z_1 \cdot z_2 = 6 + 3i - 16i + 8\] Теперь сгруппируем действительные и мнимые части: \[z_1 \cdot z_2 = (6 + 8) + (3i - 16i)\] \[z_1 \cdot z_2 = 14 - 13i\] 4. Частное комплексных чисел: Чтобы разделить комплексные числа, нужно умножить числитель и знаменатель на комплексно сопряженное к знаменателю. Комплексно сопряженное к \(z_2 = 2 + i\) будет \( \overline{z_2} = 2 - i \). \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{3 - 8i}{2 + i}\] Умножим числитель и знаменатель на \(2 - i\): \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{(3 - 8i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)}\] Сначала вычислим знаменатель, используя формулу разности квадратов \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\): \[(2 + i)(2 - i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5\] Теперь вычислим числитель: \[(3 - 8i)(2 - i) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot (-i) - 8i \cdot 2 - 8i \cdot (-i)\] \[(3 - 8i)(2 - i) = 6 - 3i - 16i + 8i^2\] Так как \(i^2 = -1\): \[(3 - 8i)(2 - i) = 6 - 3i - 16i + 8(-1)\] \[(3 - 8i)(2 - i) = 6 - 3i - 16i - 8\] Сгруппируем действительные и мнимые части: \[(3 - 8i)(2 - i) = (6 - 8) + (-3i - 16i)\] \[(3 - 8i)(2 - i) = -2 - 19i\] Теперь подставим полученные значения числителя и знаменателя обратно в дробь: \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{-2 - 19i}{5}\] Разделим действительную и мнимую части на 5: \[\frac{z_1}{z_2} = -\frac{2}{5} - \frac{19}{5}i\] Ответы: Сумма: \(z_1 + z_2 = 5 - 7i\) Разность: \(z_1 - z_2 = 1 - 9i\) Произведение: \(z_1 \cdot z_2 = 14 - 13i\) Частное: \(\frac{z_1}{z_2} = -\frac{2}{5} - \frac{19}{5}i\)