Решение уравнения: 2^(3+x) - 48 = 7 * 2^x - 2^(x+1)

Вот решение уравнения, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику: Решите уравнение: \[ 2^{3+x} - 48 = 7 \cdot 2^x - 2^{x+1} \] Решение: 1. Используем свойство степеней \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\), чтобы разложить степени с суммой в показателе: \( 2^{3+x} = 2^3 \cdot 2^x = 8 \cdot 2^x \) \( 2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x \) 2. Подставим эти выражения обратно в уравнение: \[ 8 \cdot 2^x - 48 = 7 \cdot 2^x - 2 \cdot 2^x \] 3. Введем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть \( y = 2^x \). Так как \( 2^x \) всегда положительно, то \( y > 0 \). \[ 8y - 48 = 7y - 2y \] 4. Упростим правую часть уравнения: \[ 7y - 2y = 5y \] 5. Теперь уравнение выглядит так: \[ 8y - 48 = 5y \] 6. Перенесем все члены с \(y\) в одну сторону, а числа — в другую: \[ 8y - 5y = 48 \] \[ 3y = 48 \] 7. Найдем значение \(y\): \[ y = \frac{48}{3} \] \[ y = 16 \] 8. Теперь вернемся к исходной переменной \(x\), используя замену \( y = 2^x \): \[ 2^x = 16 \] 9. Представим число 16 как степень двойки: \[ 16 = 2^4 \] 10. Приравняем показатели степеней: \[ 2^x = 2^4 \] \[ x = 4 \] Проверка: Подставим \(x=4\) в исходное уравнение: Левая часть: \( 2^{3+4} - 48 = 2^7 - 48 = 128 - 48 = 80 \) Правая часть: \( 7 \cdot 2^4 - 2^{4+1} = 7 \cdot 16 - 2^5 = 112 - 32 = 80 \) Левая часть равна правой, значит, решение верное. Ответ: 4.