Решение задачи №6: Окружность и прямая

Вот оформление задачи №6 с разделом "Дано", как это принято в школьной тетради: Задача №6 Дано: \(A(1; 5)\) \(B(9; -1)\) \(AB\) — диаметр окружности \(y = 2\) — уравнение прямой Найти: 1) Уравнение окружности 2) Точки пересечения окружности с прямой \(y = 2\) Решение: 1) Пусть \(O(x_0; y_0)\) — центр окружности. Так как \(AB\) — диаметр, то точка \(O\) является серединой отрезка \(AB\). Находим её координаты: \[x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5\] \[y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{5 + (-1)}{2} = 2\] Центр окружности имеет координаты \(O(5; 2)\). 2) Находим радиус \(R\). Радиус равен половине диаметра \(AB\): \[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(9 - 1)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10\] \[R = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5\] 3) Составляем уравнение окружности по формуле \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2\): \[(x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 5^2\] \[(x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 25\] 4) Найдем точки пересечения с прямой \(y = 2\). Подставим значение \(y\) в уравнение окружности: \[(x - 5)^2 + (2 - 2)^2 = 25\] \[(x - 5)^2 + 0 = 25\] \[(x - 5)^2 = 25\] Отсюда имеем два случая: \[x - 5 = 5 \Rightarrow x_1 = 10\] \[x - 5 = -5 \Rightarrow x_2 = 0\] Получаем две точки: \((10; 2)\) и \((0; 2)\). Ответ: \((x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 25\); точки пересечения \((10; 2)\) и \((0; 2)\).