Решение задачи №6 и №7 без коэффициента подобия

Если не использовать знание о коэффициенте подобия, задачу №7 можно решить через координаты или через площади треугольников, на которые средние линии делят основной треугольник. Это классический геометрический способ, который легко записать в тетрадь. Задача №7 Дано: \(\triangle ABC\) \(M, N, K\) — середины сторон \(AB, BC, AC\) соответственно \(\triangle MNK\) — треугольник, образованный средними линиями Найти: \(\frac{S_{MNK}}{S_{ABC}}\) Решение: 1) Проведем средние линии \(MN, NK\) и \(MK\). По свойству средней линии треугольника: \[MN \parallel AC, \quad NK \parallel AB, \quad MK \parallel BC\] 2) Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему треугольник. Например, \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\). Также средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна: \[MN = \frac{1}{2}AC, \quad NK = \frac{1}{2}AB, \quad MK = \frac{1}{2}BC\] 3) Заметим, что средние линии разделяют исходный \(\triangle ABC\) на 4 равных треугольника: \(\triangle AMK\), \(\triangle MBN\), \(\triangle NKC\) и \(\triangle KNM\). Они равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), так как стороны каждого из них равны половинам сторон исходного треугольника \(ABC\). 4) Так как весь треугольник \(ABC\) состоит из 4-х равных по площади треугольников, то площадь одного из них (образованного средними линиями) составляет одну четвертую часть от общей площади: \[S_{ABC} = S_{AMK} + S_{MBN} + S_{NKC} + S_{KNM} = 4 \cdot S_{MNK}\] \[\frac{S_{MNK}}{S_{ABC}} = \frac{1}{4}\] Ответ: \(1:4\).