Решение задачи 603: Нахождение корней квадратного трехчлена

Для того чтобы найти корни квадратного трёхчлена, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\). Задание №603. Найдите корни квадратного трёхчлена: а) \(10x^2 + 5x - 5\) Приравняем к нулю: \[10x^2 + 5x - 5 = 0\] Разделим все члены уравнения на 5 для упрощения: \[2x^2 + x - 1 = 0\] Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \[D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\] Корни находим по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \[x_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5\] \[x_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1\] Ответ: -1; 0,5. б) \(-2x^2 + 12x - 18\) Приравняем к нулю: \[-2x^2 + 12x - 18 = 0\] Разделим на -2: \[x^2 - 6x + 9 = 0\] Заметим, что это формула квадрата разности \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\): \[(x - 3)^2 = 0\] \[x - 3 = 0\] \[x = 3\] Ответ: 3. в) \(x^2 - 2x - 4\) Приравняем к нулю: \[x^2 - 2x - 4 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20\] Находим корни: \[x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}\] \[x_1 = 1 + \sqrt{5}\] \[x_2 = 1 - \sqrt{5}\] Ответ: \(1 - \sqrt{5}\); \(1 + \sqrt{5}\). г) \(12x^2 - 12\) Приравняем к нулю: \[12x^2 - 12 = 0\] Разделим на 12: \[x^2 - 1 = 0\] \[x^2 = 1\] \[x_1 = 1, \quad x_2 = -1\] Ответ: -1; 1.