Решение задач №605, 606, 607 (9 класс): сложные проценты

Ниже представлено решение задач №605, №606 и №607, оформленное для записи в школьную тетрадь с использованием формул сложных процентов и геометрической прогрессии. Задача №605 Дано: Вклад 1: \(S_1 = 100\,000\) р., \(p_1 = 6\%\), \(n_1 = 3\) года. Вклад 2: \(S_2 = 80\,000\) р., \(p_2 = 10\%\), \(n_2 = 2\) года. Найти: доход по какому вкладу больше и на сколько. Решение: Для расчета итоговой суммы на счету при начислении сложных процентов используется формула: \[A = S \cdot (1 + \frac{p}{100})^n\] Доход вычисляется как разность между итоговой суммой и первоначальным вкладом: \(D = A - S\). 1) Рассчитаем доход по первому вкладу: \[A_1 = 100\,000 \cdot (1 + 0,06)^3 = 100\,000 \cdot 1,06^3 = 100\,000 \cdot 1,191016 = 119\,101,6 \text{ р.}\] \[D_1 = 119\,101,6 - 100\,000 = 19\,101,6 \text{ р.}\] 2) Рассчитаем доход по второму вкладу: \[A_2 = 80\,000 \cdot (1 + 0,10)^2 = 80\,000 \cdot 1,1^2 = 80\,000 \cdot 1,21 = 96\,800 \text{ р.}\] \[D_2 = 96\,800 - 80\,000 = 16\,800 \text{ р.}\] 3) Сравним доходы: \[D_1 - D_2 = 19\,101,6 - 16\,800 = 2\,301,6 \text{ р.}\] Ответ: доход по первому вкладу больше на 2301,6 р. Задача №606 Дано: Начальный объем древесины: \(V_0 = 2,0 \cdot 10^4 \text{ м}^3\). Ежегодный прирост: \(p = 10\%\). Срок: \(n = 6\) лет. Найти: \(V_6\). Решение: Прирост древесины происходит по закону сложного процента (геометрической прогрессии): \[V_n = V_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n\] Подставим значения: \[V_6 = 2,0 \cdot 10^4 \cdot (1 + 0,1)^6 = 20\,000 \cdot 1,1^6\] Вычислим \(1,1^6 \approx 1,771561\): \[V_6 = 20\,000 \cdot 1,771561 = 35\,431,22 \text{ м}^3\] Округлим до целых: \(V_6 \approx 35\,431 \text{ м}^3\). Ответ: через 6 лет будет примерно \(35\,431 \text{ м}^3\) древесины. Задача №607 Дано: Начальное давление: \(P_0 = 760 \text{ мм рт. ст.}\) Удаляется за 1 ход: \(20\%\). Количество ходов: \(n = 6\). Найти: \(P_6\). Решение: Так как каждый раз удаляется \(20\%\) воздуха, то остается \(100\% - 20\% = 80\%\) от предыдущего объема. Это геометрическая прогрессия, где первый член \(b_1 = P_0 \cdot 0,8\), а знаменатель \(q = 0,8\). Давление после \(n\) ходов: \[P_n = P_0 \cdot (1 - \frac{p}{100})^n\] Подставим значения: \[P_6 = 760 \cdot (1 - 0,2)^6 = 760 \cdot 0,8^6\] Вычислим \(0,8^6 = 0,262144\): \[P_6 = 760 \cdot 0,262144 \approx 199,23 \text{ мм рт. ст.}\] Ответ: давление будет равно примерно 199,23 мм рт. ст.