Первообразная
Выберите первообразную функции \(f(x) = 5 - e^{-x} + 3 \cos x\).
Решение:
Для того чтобы найти первообразную функции \(f(x)\), нам нужно найти такую функцию \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\), то есть \(F'(x) = f(x)\).
Первообразная суммы (или разности) функций равна сумме (или разности) первообразных этих функций. То есть, если \(f(x) = g(x) - h(x) + k(x)\), то \(F(x) = G(x) - H(x) + K(x) + C\), где \(C\) — произвольная постоянная.
В нашем случае функция \(f(x)\) состоит из трех слагаемых: \(g(x) = 5\), \(h(x) = e^{-x}\) и \(k(x) = 3 \cos x\).
1. Найдем первообразную для \(g(x) = 5\).
Мы знаем, что первообразная константы \(a\) равна \(ax\). То есть, первообразная для \(5\) будет \(5x\).
2. Найдем первообразную для \(h(x) = e^{-x}\).
Мы знаем, что производная функции \(e^{kx}\) равна \(k e^{kx}\). Следовательно, первообразная для \(e^{kx}\) равна \(\frac{1}{k} e^{kx}\).
В нашем случае \(k = -1\). Поэтому первообразная для \(e^{-x}\) будет \(\frac{1}{-1} e^{-x} = -e^{-x}\).
Так как в исходной функции стоит \( -e^{-x} \), то первообразная для \( -e^{-x} \) будет \( -(-e^{-x}) = e^{-x} \).
3. Найдем первообразную для \(k(x) = 3 \cos x\).
Мы знаем, что первообразная функции \(\cos x\) равна \(\sin x\).
Следовательно, первообразная для \(3 \cos x\) будет \(3 \sin x\).
4. Теперь сложим найденные первообразные и добавим произвольную постоянную \(C\).
Таким образом, общая первообразная функции \(f(x) = 5 - e^{-x} + 3 \cos x\) будет:
\[F(x) = 5x + e^{-x} + 3 \sin x + C.\]Теперь посмотрим на предложенные варианты и выберем тот, который соответствует нашей формуле (с учетом того, что \(C\) может быть любым числом, и в вариантах оно может быть включено в другие константы).
Перепишем нашу первообразную в порядке, похожем на варианты:
\[F(x) = 3 \sin x + e^{-x} + 5x + C.\]Сравним с вариантами:
- \(3 \sin x + e^{-x-1} + \frac{5}{x} + 2\) (не подходит, есть \(e^{-x-1}\) и \(\frac{5}{x}\))
- \(3 \cos x + e^{-x-1} + 5\) (не подходит, есть \(3 \cos x\) вместо \(3 \sin x\), и \(e^{-x-1}\))
- \(-3 \cos x + e^{-x-1} + 5x + 7\) (не подходит, есть \(-3 \cos x\) и \(e^{-x-1}\))
- \(3 \sin x + e^{-\sqrt{x}} + 5x - 9\) (не подходит, есть \(e^{-\sqrt{x}}\))
- \(3 \sin x + e^{-x-1} + 5x + 7\) (не подходит, есть \(e^{-x-1}\))
- \(3 \sin x + e^{-x} + 5x + 8\) (подходит, так как \(C\) может быть равно \(8\))
Единственный вариант, который полностью соответствует нашей найденной первообразной, это последний, где \(C=8\).
Ответ:
Правильный вариант: \(3 \sin x + e^{-x} + 5x + 8\).