Решение задачи: Первообразная функции 2/x + 3/x^2

Для того чтобы найти первообразную функции, нужно проинтегрировать её. Исходная функция: \(f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}\). Перепишем функцию в виде степеней: \(f(x) = 2x^{-1} + 3x^{-2}\). Теперь найдем первообразную для каждого члена. 1. Для первого члена \(2x^{-1}\): Мы знаем, что \(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\). Значит, \(\int 2x^{-1} \, dx = 2 \int \frac{1}{x} \, dx = 2 \ln|x| + C_1\). 2. Для второго члена \(3x^{-2}\): Используем формулу для нахождения первообразной степенной функции \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\). \[\int 3x^{-2} \, dx = 3 \int x^{-2} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_2 = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = -3x^{-1} + C_2 = -\frac{3}{x} + C_2\] Теперь сложим полученные первообразные: \[F(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + C\] где \(C = C_1 + C_2\) - это общая произвольная постоянная. Теперь посмотрим на предложенные варианты ответов: 1. \(-\frac{2}{x^2} - \frac{6}{x^3}\) - это неверно. 2. \(-\frac{2}{x^2} - \frac{6}{x^3} + 2\) - это неверно. 3. \(\frac{1}{x^2} - \frac{3}{x^2} - 1\) - это неверно. 4. \(\frac{1}{x^2} - \lg x\) - это неверно. 5. \(2 \ln|x| - \frac{3}{x}\) - этот вариант соответствует нашей первообразной, где \(C = 0\). 6. \(2 \lg|x| + \frac{3}{x}\) - здесь используется десятичный логарифм \(\lg\) вместо натурального \(\ln\), и знак перед \(\frac{3}{x}\) неверный. Таким образом, правильный вариант ответа - это: \(2 \ln|x| - \frac{3}{x}\) Номер ответа: 5