Решение: Номер ответа

Для того чтобы найти первообразную функции, нужно проинтегрировать её. Исходная функция: \(f(x) = \sqrt[5]{x} - 2e^x\). Перепишем первый член функции в виде степени: \(\sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}}\). Тогда функция будет выглядеть так: \(f(x) = x^{\frac{1}{5}} - 2e^x\). Найдем первообразную для каждого члена отдельно. 1. Для первого члена \(x^{\frac{1}{5}}\): Используем формулу для нахождения первообразной степенной функции \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\). \[\int x^{\frac{1}{5}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{5}+1}}{\frac{1}{5}+1} + C_1 = \frac{x^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} + C_1 = \frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}} + C_1\] Мы можем переписать \(x^{\frac{6}{5}}\) как \(x \cdot x^{\frac{1}{5}}\) или \(x \sqrt[5]{x}\). Значит, \(\frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}} = \frac{5}{6}x \sqrt[5]{x}\). 2. Для второго члена \(-2e^x\): Мы знаем, что \(\int e^x \, dx = e^x + C\). Значит, \(\int -2e^x \, dx = -2 \int e^x \, dx = -2e^x + C_2\). Теперь сложим полученные первообразные: \[F(x) = \frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}} - 2e^x + C\] или \[F(x) = \frac{5}{6}x \sqrt[5]{x} - 2e^x + C\] где \(C = C_1 + C_2\) - это общая произвольная постоянная. Теперь посмотрим на предложенные варианты ответов: 1. \(\frac{6}{5}x \sqrt[5]{x} - 2e^x + C\) - здесь неверный коэффициент перед \(x \sqrt[5]{x}\). 2. \(\frac{6}{5}\sqrt[5]{x} - 2e^x + C\) - здесь неверный коэффициент и степень \(x\). 3. \(\frac{5}{6}x \sqrt[5]{x} - 2e^x + C\) - этот вариант полностью соответствует нашей первообразной. 4. \(\frac{5}{6}\sqrt[5]{x} - 2e^x + C\) - здесь неверная степень \(x\). Таким образом, правильный вариант ответа - это: \(\frac{5}{6}x \sqrt[5]{x} - 2e^x + C\) Номер ответа: 3