Нахождение первообразной функции f(x) = 1/(2√x) + 1

Для того чтобы найти первообразную функции, нужно проинтегрировать её. Исходная функция: \(f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1\). Перепишем первый член функции в виде степени: \(\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\). Тогда функция будет выглядеть так: \(f(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 1\). Найдем первообразную для каждого члена отдельно. 1. Для первого члена \(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\): Используем формулу для нахождения первообразной степенной функции \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\). \[\int \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{1}{2} \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = x^{\frac{1}{2}} + C_1 = \sqrt{x} + C_1\] 2. Для второго члена \(1\): Мы знаем, что \(\int 1 \, dx = x + C\). Значит, \(\int 1 \, dx = x + C_2\). Теперь сложим полученные первообразные: \[F(x) = \sqrt{x} + x + C\] где \(C = C_1 + C_2\) - это общая произвольная постоянная. Теперь посмотрим на предложенные варианты ответов: 1. \(\frac{1}{\sqrt{x}} + x + C\) - здесь неверный первый член. 2. \(\frac{1}{\sqrt{x}} + C\) - здесь неверный первый член и отсутствует \(x\). 3. \(2\sqrt{x} + x + C\) - здесь неверный коэффициент перед \(\sqrt{x}\). 4. \(\sqrt{x} + x + C\) - этот вариант полностью соответствует нашей первообразной. Таким образом, правильный вариант ответа - это: \(\sqrt{x} + x + C\) Номер ответа: 4