Первообразная
Какая из функций является первообразной для функции \(f(x) = -13 \sin x + \frac{5}{\cos^2 x}\)?
Решение:
Для того чтобы найти первообразную функции \(f(x)\), нам нужно найти такую функцию \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\), то есть \(F'(x) = f(x)\).
Первообразная суммы функций равна сумме первообразных этих функций. То есть, если \(f(x) = g(x) + h(x)\), то \(F(x) = G(x) + H(x) + C\), где \(C\) — произвольная постоянная.
В нашем случае функция \(f(x)\) состоит из двух слагаемых: \(g(x) = -13 \sin x\) и \(h(x) = \frac{5}{\cos^2 x}\).
1. Найдем первообразную для \(g(x) = -13 \sin x\).
Мы знаем, что производная функции \(\cos x\) равна \(-\sin x\). То есть, \((\cos x)' = -\sin x\).
Следовательно, первообразная для \(\sin x\) будет \(-\cos x\).
Тогда первообразная для \(-13 \sin x\) будет \(-13 \cdot (-\cos x) = 13 \cos x\).
2. Найдем первообразную для \(h(x) = \frac{5}{\cos^2 x}\).
Мы знаем, что производная функции \(\operatorname{tg} x\) равна \(\frac{1}{\cos^2 x}\). То есть, \((\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\).
Следовательно, первообразная для \(\frac{1}{\cos^2 x}\) будет \(\operatorname{tg} x\).
Тогда первообразная для \(\frac{5}{\cos^2 x}\) будет \(5 \operatorname{tg} x\).
3. Теперь сложим найденные первообразные и добавим произвольную постоянную \(C\).
Таким образом, первообразная функции \(f(x) = -13 \sin x + \frac{5}{\cos^2 x}\) будет:
\[F(x) = 13 \cos x + 5 \operatorname{tg} x + C.\]Сравним наш результат с предложенными вариантами:
- \(13 \cos x + 5 \operatorname{tg} x + C\)
- \(13 \cos x + 5 \operatorname{ctg} x + C\)
- \(-13 \cos x + 5 \operatorname{tg} x + C\)
- \(-13 \cos x + 5 \operatorname{ctg} x + C\)
Наш результат совпадает с первым вариантом.
Ответ:
Правильный вариант: \(13 \cos x + 5 \operatorname{tg} x + C\).