Задача:
Выберите функцию, которая является одной из первообразных функции \(f(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} + 4\)?
Решение:
Для того чтобы найти первообразную функции \(f(x)\), нужно вычислить неопределенный интеграл от этой функции:
\[F(x) = \int f(x) \, dx\]В нашем случае \(f(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} + 4\). Мы можем разбить интеграл на сумму двух интегралов:
\[F(x) = \int \left(\frac{3}{2\sqrt{x}} + 4\right) \, dx = \int \frac{3}{2\sqrt{x}} \, dx + \int 4 \, dx\]Рассмотрим первый интеграл: \(\int \frac{3}{2\sqrt{x}} \, dx\).
Перепишем \(\sqrt{x}\) как \(x^{\frac{1}{2}}\) и вынесем константы:
\[\int \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{3}{2} \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx\]Используем правило интегрирования степенной функции \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(n = -\frac{1}{2}\):
\[\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C_1 = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1\] \[= \frac{3}{2} \cdot 2x^{\frac{1}{2}} + C_1 = 3x^{\frac{1}{2}} + C_1 = 3\sqrt{x} + C_1\]Рассмотрим второй интеграл: \(\int 4 \, dx\).
Это интеграл от константы:
\[\int 4 \, dx = 4x + C_2\]Теперь сложим результаты двух интегралов:
\[F(x) = 3\sqrt{x} + C_1 + 4x + C_2\]Объединим константы \(C_1 + C_2\) в одну общую константу \(C\):
\[F(x) = 3\sqrt{x} + 4x + C\]Проверка:
Чтобы убедиться в правильности найденной первообразной, можно взять производную от \(F(x)\) и проверить, получим ли мы исходную функцию \(f(x)\).
\[F'(x) = \frac{d}{dx} (3\sqrt{x} + 4x + C)\] \[F'(x) = \frac{d}{dx} (3x^{\frac{1}{2}} + 4x + C)\] \[F'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + 4 \cdot 1 + 0\] \[F'(x) = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} + 4\] \[F'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} + 4\]Мы получили исходную функцию \(f(x)\), значит, первообразная найдена верно.
Ответ:
Среди предложенных вариантов правильным является \(3\sqrt{x} + 4x\).
Номер ответа: 3