Задача:
Для функции \(y = 2x + 3\) найдите первообразную, график которой проходит через точку \(M(1;2)\).
Решение:
1. Находим общую форму первообразной.
Чтобы найти первообразную функции \(f(x) = 2x + 3\), нужно вычислить неопределенный интеграл:
\[F(x) = \int (2x + 3) \, dx\]Разделим интеграл на сумму двух интегралов:
\[F(x) = \int 2x \, dx + \int 3 \, dx\]Используем правила интегрирования: \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) и \(\int k \, dx = kx + C\).
Для первого слагаемого: \(\int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_1 = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = x^2 + C_1\).
Для второго слагаемого: \(\int 3 \, dx = 3x + C_2\).
Складываем результаты и объединяем константы \(C_1\) и \(C_2\) в одну константу \(C\):
\[F(x) = x^2 + 3x + C\]Это общая форма первообразной для функции \(y = 2x + 3\).
2. Используем условие прохождения графика через точку \(M(1;2)\).
График первообразной проходит через точку \(M(1;2)\). Это означает, что при \(x = 1\), значение функции \(F(x)\) равно \(2\). Подставим эти значения в найденную общую форму первообразной:
\[2 = (1)^2 + 3(1) + C\] \[2 = 1 + 3 + C\] \[2 = 4 + C\]Теперь найдем значение константы \(C\):
\[C = 2 - 4\] \[C = -2\]3. Записываем искомую первообразную.
Подставим найденное значение \(C = -2\) в общую форму первообразной:
\[F(x) = x^2 + 3x - 2\]Проверка:
1. Возьмем производную от найденной функции: \((x^2 + 3x - 2)' = 2x + 3\). Это соответствует исходной функции.
2. Проверим, проходит ли график через точку \(M(1;2)\): \(F(1) = (1)^2 + 3(1) - 2 = 1 + 3 - 2 = 4 - 2 = 2\). Значение совпадает с координатой \(y\) точки \(M\).
Ответ:
Искомая первообразная: \(y = x^2 + 3x - 2\).
Номер ответа: 3