Задача:
На рисунке изображён график функции \(y = F(x)\) — одной из первообразных функции \(f(x)\). Найдите количество решений уравнения \(f(x) = 0\), принадлежащих отрезку \([-5; 2]\).
Решение:
1. Понимание связи между функцией и её первообразной.
По определению, если \(F(x)\) является первообразной для \(f(x)\), то \(F'(x) = f(x)\). Это означает, что значения функции \(f(x)\) равны значениям производной функции \(F(x)\).
2. Интерпретация условия \(f(x) = 0\).
Уравнение \(f(x) = 0\) эквивалентно уравнению \(F'(x) = 0\). Производная функции равна нулю в точках, где касательная к графику функции горизонтальна. Это происходит в точках локальных максимумов и минимумов функции \(F(x)\).
3. Анализ графика функции \(y = F(x)\) на заданном отрезке.
Нам нужно найти количество точек, в которых \(F'(x) = 0\) (то есть, где у графика \(F(x)\) есть локальные максимумы или минимумы) на отрезке \([-5; 2]\).
Рассмотрим график \(y = F(x)\) и отметим точки локальных экстремумов (максимумов и минимумов) на отрезке от \(x = -5\) до \(x = 2\).
- На отрезке \([-5; 2]\) мы видим следующие точки, где график \(F(x)\) достигает локальных экстремумов:
- Первый локальный минимум находится примерно при \(x \approx -4.5\).
- Первый локальный максимум находится примерно при \(x \approx -3\).
- Второй локальный минимум находится примерно при \(x \approx -1.5\).
- Второй локальный максимум находится примерно при \(x \approx 0.2\).
- Третий локальный минимум находится примерно при \(x \approx 1.2\).
Все эти точки находятся внутри заданного отрезка \([-5; 2]\).
4. Подсчет количества решений.
Подсчитаем количество таких точек на отрезке \([-5; 2]\):
1. \(x \approx -4.5\) (локальный минимум)
2. \(x \approx -3\) (локальный максимум)
3. \(x \approx -1.5\) (локальный минимум)
4. \(x \approx 0.2\) (локальный максимум)
5. \(x \approx 1.2\) (локальный минимум)
Всего 5 таких точек.
Ответ:
Количество решений уравнения \(f(x) = 0\) на отрезке \([-5; 2]\) равно 5.
Итоговый ответ: 5