Задача:
Найдите производную функции и отметьте верный вариант.
\[f(x) = -2 \ln x + 3 \sin x + e^{4x}\]Решение:
Для нахождения производной функции \(f(x)\) мы будем использовать правила дифференцирования суммы функций и производные основных функций:
1. Производная суммы функций: \((u+v+w)' = u' + v' + w'\).
2. Производная константы, умноженной на функцию: \((ku)' = k u'\).
3. Производные основных функций:
- \((\ln x)' = \frac{1}{x}\)
- \((\sin x)' = \cos x\)
- \((e^{kx})' = k e^{kx}\) (производная сложной функции, где \(k\) - константа)
Применим эти правила к нашей функции \(f(x) = -2 \ln x + 3 \sin x + e^{4x}\).
Найдем производную каждого слагаемого по отдельности:
1. Производная от \(-2 \ln x\):
\[(-2 \ln x)' = -2 \cdot (\ln x)' = -2 \cdot \frac{1}{x} = -\frac{2}{x}\]2. Производная от \(3 \sin x\):
\[(3 \sin x)' = 3 \cdot (\sin x)' = 3 \cdot \cos x = 3 \cos x\]3. Производная от \(e^{4x}\):
Здесь используем правило для \(e^{kx}\), где \(k=4\):
\[(e^{4x})' = 4 e^{4x}\]Теперь сложим полученные производные:
\[f'(x) = -\frac{2}{x} + 3 \cos x + 4 e^{4x}\]Сравнение с вариантами ответа:
Даны следующие варианты:
1. \(\frac{2}{x^2} - 3 \cos x + e^{4x}\)
2. \(\frac{2}{x} + 3 \cos x + 4e^{4x}\)
3. \(2 \ln x + 3 \cos x + e^{4x}\)
4. \(-\frac{2}{x} + 3 \cos x + 4e^{4x}\)
Наш результат \(f'(x) = -\frac{2}{x} + 3 \cos x + 4 e^{4x}\) точно совпадает с четвертым вариантом.
Ответ:
Производная функции \(f(x)\) равна \(-\frac{2}{x} + 3 \cos x + 4 e^{4x}\).
Номер ответа: 4